Verificar quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais do :
;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se o conjunto é um subespaço vetorial de . Para isso, vamos precisar lembrar dos critérios que definem um subespaço vetorial e aplicar cada um deles nesse conjunto.

Passo 2

Primeiro, precisamos relembrar quais são os critérios para um conjunto ser considerado um subespaço vetorial. São eles:
  1. Contém o vetor zero: O conjunto deve incluir o vetor zero do espaço.
  2. Fechado sob adição: A soma de quaisquer dois vetores do conjunto também deve pertencer ao conjunto.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Multiplicar qualquer vetor do conjunto por um escalar deve resultar em um vetor que ainda está no conjunto.
Vamos verificar cada um desses pontos para o conjunto .

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em é . Vamos ver se ele pertence a :
Como e , o vetor está em . Portanto, o primeiro critério é satisfeito.

Passo 4

2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em , por exemplo, e . Agora, somamos esses dois vetores:
Como e no vetor resultante, também pertence a . Assim, o conjunto é fechado sob adição.

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em , digamos , e um escalar qualquer . Multiplicamos o vetor pelo escalar:
Novamente, e no vetor resultante, o que significa que também está em . Portanto, o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como o conjunto satisfaz todos os três critérios necessários, podemos concluir que é um subespaço vetorial de .

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Sejam , e vetores de .
(a) Mostre que o conjunto é uma base de .
Sejam e vetores de . Determine os valores de para os quais pode ser escrito como combinação linear de e .
Dadas as matrizes e , determine, se possível:
Sejam e bases ordenadas de . Se , determine e .