Verificar quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais do
:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos precisar lembrar dos critérios que definem um subespaço vetorial e aplicar cada um deles nesse conjunto.
Passo 2
Primeiro, precisamos relembrar quais são os critérios para um conjunto ser considerado um subespaço vetorial. São eles:
- Contém o vetor zero: O conjunto deve incluir o vetor zero do espaço.
- Fechado sob adição: A soma de quaisquer dois vetores do conjunto também deve pertencer ao conjunto.
- Fechado sob multiplicação por escalar: Multiplicar qualquer vetor do conjunto por um escalar deve resultar em um vetor que ainda está no conjunto.
Vamos verificar cada um desses pontos para o conjunto
.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele pertence a
:
Como
e
, o vetor
está em
. Portanto, o primeiro critério é satisfeito.
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
, por exemplo,
e
. Agora, somamos esses dois vetores:
Como
e
no vetor resultante,
também pertence a
. Assim, o conjunto é fechado sob adição.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em
, digamos
, e um escalar qualquer
. Multiplicamos o vetor pelo escalar:
Novamente,
e
no vetor resultante, o que significa que
também está em
. Portanto, o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como o conjunto
satisfaz todos os três critérios necessários, podemos concluir que
é um subespaço vetorial de
.
Exercícios relacionados
Sejam
,
e
vetores de
.
(a) Mostre que o conjunto é uma base de
.
(a) Mostre que o conjunto
Sejam
e
vetores de
. Determine os valores de
para os quais
pode ser escrito como combinação linear de
e
.
Dadas as matrizes
e
, determine, se possível:
Sejam
e
bases ordenadas de
. Se
, determine
e
.