Verificar quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais do R^4 :
S=(x, y, z, t) in R^4 / x=y=0;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se o conjunto é um subespaço vetorial de . Para isso, vamos precisar lembrar dos critérios que definem um subespaço vetorial e aplicar cada um deles nesse conjunto.

Passo 2

Primeiro, precisamos relembrar quais são os critérios para um conjunto ser considerado um subespaço vetorial. São eles:
  1. Contém o vetor zero: O conjunto deve incluir o vetor zero do espaço.
  2. Fechado sob adição: A soma de quaisquer dois vetores do conjunto também deve pertencer ao conjunto.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Multiplicar qualquer vetor do conjunto por um escalar deve resultar em um vetor que ainda está no conjunto.
Vamos verificar cada um desses pontos para o conjunto .

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em x = 0 e y = 0 é . Vamos ver se ele pertence a :
Como e , o vetor está em . Portanto, o primeiro critério é satisfeito.

Passo 4

2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em u + v = (0 + 0, , 0 + 0, , z1 + z2, , t1 + t2) = (0, 0, z1 + z2, t1 + t2) , por exemplo, e . Agora, somamos esses dois vetores:
Como e no vetor resultante, também pertence a . Assim, o conjunto é fechado sob adição.

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em c cdot u = c cdot (0, 0, z, t) = (0 cdot c, , 0 cdot c, , z cdot c, , t cdot c) = (0, 0, c z, c t) , digamos , e um escalar qualquer . Multiplicamos o vetor pelo escalar:
Novamente, e no vetor resultante, o que significa que também está em . Portanto, o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como o conjunto satisfaz todos os três critérios necessários, podemos concluir que é um subespaço vetorial de .

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