Verificar se os conjuntos são subespaços :
W=(llx & y z & t) in M2(R) / x+2 y=z+t=0.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa verificar se o conjunto W = x & y z & t in M2(R) g| x + 2y = 0 e z + t = 0 é um subespaço de , que é o conjunto de todas as matrizes 2x2 com números reais. O conjunto é definido por:
Para isso, vamos precisar verificar três coisas principais: se não está vazio (tem o zero), se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o conjunto 0 & 0 0 & 0 não está vazio. Para isso, a gente precisa checar se a matriz zero está em 0 + 2 cdot 0 = 0 e 0 + 0 = 0 . A matriz zero é:
Vamos ver se ela satisfaz as condições de :
Ambas as igualdades são verdadeiras, então a matriz zero está em .

Passo 3

Agora, vamos ver se A = x1 & y1 z1 & t1 e B = x2 & y2 z2 & t2 é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos duas matrizes qualquer de x1 + 2y1 = 0 e z1 + t1 = 0 e somarmos elas, o resultado ainda está em x2 + 2y2 = 0 e z2 + t2 = 0 . Vamos considerar duas matrizes em A + B = x1 + x2 & y1 + y2 z1 + z2 & t1 + t2 :
(x1 + x2) + 2(y1 + y2) = (x1 + 2y1) + (x2 + 2y2) = 0 + 0 = 0
Como (z1 + z2) + (t1 + t2) = (z1 + t1) + (z2 + t2) = 0 + 0 = 0 e estão em , temos:
Somando e :
Vamos checar as condições para :
Como as duas igualdades são verdadeiras, está em .

Passo 4

Por último, vamos ver se A = x & y z & t in W é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se pegarmos uma matriz qualquer de kA = kx & ky kz & kt e multiplicarmos por um número real, o resultado ainda está em kx + 2(ky) = k(x + 2y) = k cdot 0 = 0 . Seja:
kz + kt = k(z + t) = k cdot 0 = 0
E um escalar . Então:
Vamos checar as condições para :
Ambas as igualdades são verdadeiras, então está em .

Resposta

Como contém a matriz zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço de .

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