Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa verificar se o conjunto é um subespaço de , que é o conjunto de todas as matrizes 2x2 com números reais. O conjunto é definido por:
Para isso, vamos precisar verificar três coisas principais: se não está vazio (tem o zero), se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se o conjunto não está vazio. Para isso, a gente precisa checar se a matriz zero está em . A matriz zero é:
Vamos ver se ela satisfaz as condições de :
Ambas as igualdades são verdadeiras, então a matriz zero está em .
Passo 3
Agora, vamos ver se é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos duas matrizes qualquer de e somarmos elas, o resultado ainda está em . Vamos considerar duas matrizes em :
Como e estão em , temos:
Somando e :
Vamos checar as condições para :
Como as duas igualdades são verdadeiras, está em .
Passo 4
Por último, vamos ver se é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se pegarmos uma matriz qualquer de e multiplicarmos por um número real, o resultado ainda está em . Seja:
E um escalar . Então:
Vamos checar as condições para :
Ambas as igualdades são verdadeiras, então está em .
Resposta
Como contém a matriz zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço de .