Sejam curvas regulares, parametrizadas pelo comprimento de arco, tal que, para cada , a curvatura e a torção de e em não se anulam. Prove que, se os vetores binormais das duas curvas coincidem, isto é, , então e são congruentes.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos duas curvas regulares, e , no espaço tridimensional , que são parametrizadas pelo comprimento de arco. Isso significa que a variável representa a distância ao longo da curva. Além disso, ambas as curvas têm curvatura e torção diferentes de zero para todo , o que implica que elas não são linhas retas e têm uma certa “volta” no espaço.
O problema nos dá a condição de que os vetores binormais das duas curvas coincidem para todo , ou seja, . Queremos provar que, sob essa condição, as curvas e são congruentes, o que significa que uma pode ser obtida da outra por uma rotação e/ou translação no espaço.
Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria do frame de Frenet, que nos dá uma maneira de descrever a geometria de uma curva usando três vetores ortonormais: o vetor tangente , o vetor normal e o vetor binormal . As equações de Frenet-Serret relacionam as derivadas desses vetores com a curvatura e a torção da curva.
Passo 2
Vamos começar lembrando as equações de Frenet-Serret para uma curva parametrizada pelo comprimento de arco:
onde é o vetor tangente, é o vetor normal, é o vetor binormal, é a curvatura e é a torção da curva. O apóstrofo denota a derivada em relação a .
Como as condições do problema dizem que , os vetores binormais das duas curvas são iguais para todo . Vamos explorar o que isso implica para os outros vetores do frame de Frenet e para as funções e .
Passo 3
Sabemos que os vetores , e formam um sistema ortonormal. Se os vetores binormais são iguais para as duas curvas, podemos considerar que as curvas compartilham o mesmo vetor binormal em cada ponto correspondente.
Vamos agora analisar as equações de Frenet-Serret para ambas as curvas:
Para :
Para :
Como , podemos equacionar as duas derivadas de :
Isso implica que . Como a torção e são diferentes de zero, podemos resolver para :
Como e são vetores unitários, temos que . Assumindo que estamos lidando com curvas orientadas de forma consistente, podemos tomar , ou seja, e .
Passo 4
Agora que sabemos que e , podemos comparar as equações para os vetores tangentes.
Voltando às equações de Frenet-Serret:
Para :
Para :
Como e são ambos vetores tangentes às curvas, suas derivadas estão relacionadas às curvaturas e . Se igualarmos essas derivadas, obtemos:
Portanto, temos que e .
Passo 5
Sabendo que as curvaturas e torções das duas curvas são iguais, e que os frames de Frenet correspondentes , e são iguais para ambas as curvas, podemos concluir que as informações geométricas das curvas são as mesmas.
Na geometria diferencial, se duas curvas têm os mesmos valores de curvatura e torção e seus frames de Frenet são iguais ao longo de todo o comprimento de arco, então as curvas são congruentes. Isso significa que uma pode ser obtida da outra através de uma isometria do espaço, ou seja, uma rotação e/ou translação.
Resposta
Portanto, se os vetores binormais das duas curvas coincidem para todo , então as curvas e têm a mesma curvatura e torção e seus frames de Frenet são iguais. Com isso, concluímos que e são congruentes.