Sejam e bases do tais que e .
(a) Determine a matriz de mudança de base, da base para a base .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a matriz de mudança de base da base para a base no espaço . Isso envolve conceitos de bases e transformação de coordenadas. Vamos precisar entender como expressar os vetores de uma base na outra e usar isso para montar a matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma matriz de mudança de base transforma as coordenadas de um vetor de uma base para outra. Nesse caso, queremos passar das coordenadas em para as coordenadas em .
Passo 3
A base é definida em termos da base da seguinte forma:
Nosso objetivo é expressar essas equações em forma de matriz.
Passo 4
Vamos organizar os coeficientes das combinações lineares em uma matriz. Cada coluna da matriz será formada pelos coeficientes de , e para cada vetor :
Essa matriz A representa como os vetores de beta são expressos na base alpha.
Passo 5
Para encontrar a matriz de mudança de base de alpha para beta, precisamos inverter a matriz A. A matriz inversa A^-1 será nossa matriz de mudança de base Palpha to beta.