Verifique a posição relativa entre as retas: r: ly=-3 x+2 s: x+22=y-1-6=z2 z=x+3

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o exercício está pedindo. Temos duas retas no espaço tridimensional:
  • Reta r: definida pela equação
  • Reta s: definida pelas equações e
Queremos verificar a posição relativa entre essas duas retas, ou seja, descobrir se elas são paralelas, se intersectam ou se são são escalas (skew).
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de vetores diretores das retas, sistemas de equações e análise de interseção ou paralelismo entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações paramétricas de cada reta para facilitar a análise.
Para a reta r: x = t y = -3t + 2 z = 0 (Como não há variável z na equação, assumimos z = 0)
Podemos considerar r(t) = x = t y = -3t + 2 z = 0 , então:
1 -3 0 ãááçã
Portanto, a forma paramétrica da reta r é:
O vetor diretor de r é

Passo 3

Agora, vamos analisar a reta s: x+22 = y-1-6 = z2 = lambda (Parâmetro) e x = 2lambda - 2 y = -6lambda + 1 z = 2lambda
Primeiro, a equação simétrica:
2lambda = (2lambda - 2) + 3 2lambda = 2lambda + 1 0 = 1 â
Então, podemos escrever as equações paramétricas:
2 -6 2
Mas também temos . Vamos substituir e nas equações:
Isso resulta em uma contradição, o que significa que não há valor de que satisfaça ambas as equações simultaneamente. Portanto, a reta s não existe ou está mal definida. Contudo, assumindo que houve um erro e apenas consideramos a equação simétrica, prosseguiremos.
O vetor diretor de s é

Passo 4

Agora, vamos verificar se as retas r e s são paralelas. Duas retas são paralelas se os vetores diretores são proporcionais.
Comparando 1 -3 0 e 2 -6 2 :
  • não está definido
Como a terceira componente não mantém a proporcionalidade, os vetores não são proporcionais. Portanto, as retas r e s não são paralelas.

Passo 5

Em seguida, vamos verificar se as retas r e s se intersectam. Para isso, igualamos as equações paramétricas e tentamos encontrar valores de t = 2lambda - 2 -3t + 2 = -6lambda + 1 0 = 2lambda e -3(-2) + 2 = 6 + 2 = 8 -6(0) + 1 = 1 que satisfaçam todas as equações simultaneamente.
Da terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
Agora, substituindo na segunda equação:
Como , não há solução comum, ou seja, as retas r e s não se intersectam.

Resposta

As retas r e s são espaçosa (skew), ou seja, não são paralelas e não se intersectam.

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