Sejam e sequências numéricas. Decida se cada afirmacão abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta. Se então ou ou

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado. A gente tem duas sequências numéricas, chamadas e . A questão pergunta se, se o produto dessas duas sequências tende a zero, então necessariamente uma das sequências ( ou ) também tende a zero. Vamos resolver isso passo a passo usando conceitos de limite de sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa dizer que uma sequência tende a zero. Quando a gente diz que , isso quer dizer que, conforme fica maior e maior, os valores de ficam cada vez mais próximos de zero. O mesmo vale para .

Passo 3

A afirmação que estamos analisando é: se , então ou ou . Para ver se isso é verdade, vamos pensar se sempre que o produto de duas sequências tende a zero, uma das sequências precisa necessariamente tender a zero.

Passo 4

Na verdade, isso não é sempre verdade. Para a afirmação ser verdadeira, precisaríamos que sempre que o produto tende a zero, pelo menos uma das sequências também tende a zero. Mas podemos encontrar situações em que o produto tende a zero mesmo que nenhuma das sequências tende a zero individualmente.

Passo 5

Vamos ver um exemplo para ilustrar isso. Imagine que e . Então:
Neste caso, o produto não tende a zero, então esse exemplo não serve. Vamos tentar outro.
Considere e . Então:
Aqui, quando . Mas:
Então, nesse caso, ambas as sequências tendem a zero. Vamos ajustar nosso exemplo.
Considere e . Então:
O seno alterna entre 1 e -1, então o produto vai alternar entre e , que tende a zero conforme . Porém:
Não tende a zero, pois fica alternando entre 1 e -1.

Passo 6

Nesse último exemplo, vimos que , mas apenas uma das sequências ( ) tende a zero, enquanto a outra ( ) não tende a zero. Isso mostra que a afirmação original não é sempre verdadeira.

Resposta

A afirmação é falsa. É possível que sem que nenhuma das sequências ou tenda a zero individualmente.

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Mostre que: ;
Mostre que: ;
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