Sejam
e
sequências numéricas. Decida se cada afirmacão abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta. Se
então ou
ou
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado. A gente tem duas sequências numéricas, chamadas
e
. A questão pergunta se, se o produto dessas duas sequências
tende a zero, então necessariamente uma das sequências (
ou
) também tende a zero. Vamos resolver isso passo a passo usando conceitos de limite de sequências.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa dizer que uma sequência tende a zero. Quando a gente diz que
, isso quer dizer que, conforme
fica maior e maior, os valores de
ficam cada vez mais próximos de zero. O mesmo vale para
.
Passo 3
A afirmação que estamos analisando é: se
, então ou
ou
. Para ver se isso é verdade, vamos pensar se sempre que o produto de duas sequências tende a zero, uma das sequências precisa necessariamente tender a zero.
Passo 4
Na verdade, isso não é sempre verdade. Para a afirmação ser verdadeira, precisaríamos que sempre que o produto
tende a zero, pelo menos uma das sequências também tende a zero. Mas podemos encontrar situações em que o produto tende a zero mesmo que nenhuma das sequências tende a zero individualmente.
Passo 5
Vamos ver um exemplo para ilustrar isso. Imagine que
e
. Então:
Neste caso, o produto
não tende a zero, então esse exemplo não serve. Vamos tentar outro.
Considere
e
. Então:
Aqui,
quando
. Mas:
Então, nesse caso, ambas as sequências tendem a zero. Vamos ajustar nosso exemplo.
Considere
e
. Então:
O seno alterna entre 1 e -1, então o produto vai alternar entre
e
, que tende a zero conforme
. Porém:
Não tende a zero, pois fica alternando entre 1 e -1.
Passo 6
Nesse último exemplo, vimos que
, mas apenas uma das sequências (
) tende a zero, enquanto a outra (
) não tende a zero. Isso mostra que a afirmação original não é sempre verdadeira.
Resposta
A afirmação é falsa. É possível que
sem que nenhuma das sequências
ou
tenda a zero individualmente.
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e
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e
então
.
Mostre que:
;
Mostre que:
;
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e
então
.