Sejam A=Ax imath+Ay jmath+Az k e B=Bx imath+By jmath+Bz k.
Demostrar:
A x A=0
Explique a sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você nos pediu para mostrar que o produto vetorial de um vetor com ele mesmo é igual a zero, ou seja, A times A = 0. A matéria envolvida aqui é o produto vetorial entre vetores no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como calcular o produto vetorial e entender suas propriedades básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto vetorial de dois vetores A e B. Se A = Ax imath + Ay jmath + Az k e B = Bx imath + By jmath + Bz k, então:
A times B = imath & jmath & k Ax & Ay & Az Bx & By & Bz
Isso significa que o produto vetorial é um determinante que resulta em um novo vetor.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso para o caso específico onde B = A, ou seja, estamos calculando A times A. Substituindo na fórmula:
A times A = imath & jmath & k Ax & Ay & Az Ax & Ay & Az

Passo 4

Observando esse determinante, percebemos que as duas últimas linhas são iguais, já que estamos usando o mesmo vetor duas vezes. Em matemática, se duas linhas de um determinante são iguais, o valor do determinante é sempre zero. Portanto:
A times A = 0

Passo 5

Além disso, uma propriedade importante do produto vetorial é que o resultado é sempre um vetor perpendicular aos dois vetores envolvidos. No caso de A times A, estamos tentando encontrar um vetor perpendicular a A e a si mesmo, o que só é possível se for o vetor nulo.

Resposta

A times A = 0

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