Sejam A=Ax imath+Ay jmath+Az k e B=Bx imath+By jmath+Bz k.
Demostrar:
b. A x A=0
Explique a sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores, e , cada um com suas componentes nas direções , e . A parte b do exercício quer que a gente mostre que o produto vetorial de consigo mesmo, ou seja, , dá o vetor zero. Para isso, vamos precisar entender como calcular o produto vetorial e aplicar algumas propriedades básicas dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores U times V = imath & jmath & k Ux & Uy & Uz Vx & Vy & Vz e é outro vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para calcular o produto vetorial é:
Isso significa que a gente monta uma matriz com os vetores e usa o cálculo do determinante para encontrar o resultado.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula para A times A = imath & jmath & k Ax & Ay & Az Ax & Ay & Az . Substituindo e por , temos:

Passo 4

Calculando o determinante dessa matriz, percebemos que as duas últimas linhas são iguais. Quando isso acontece, o determinante é sempre zero. Então, cada componente do produto vetorial vai ser zero:
A times A = 0

Passo 5

Além disso, vale saber que o produto vetorial de qualquer vetor com ele mesmo sempre dá o vetor zero. Isso porque o ângulo entre um vetor e ele mesmo é zero, e o seno de zero é zero, o que faz todas as componentes do produto vetorial serem nulas.

Resposta

A times A = 0

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