Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores, e , cada um com suas componentes nas direções , e . A parte b do exercício quer que a gente mostre que o produto vetorial de consigo mesmo, ou seja, , dá o vetor zero. Para isso, vamos precisar entender como calcular o produto vetorial e aplicar algumas propriedades básicas dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores e é outro vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para calcular o produto vetorial é:
Isso significa que a gente monta uma matriz com os vetores e usa o cálculo do determinante para encontrar o resultado.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa fórmula para A times A = imath & jmath & k Ax & Ay & Az Ax & Ay & Az . Substituindo e por , temos:
Passo 4
Calculando o determinante dessa matriz, percebemos que as duas últimas linhas são iguais. Quando isso acontece, o determinante é sempre zero. Então, cada componente do produto vetorial vai ser zero:
A times A = 0
Passo 5
Além disso, vale saber que o produto vetorial de qualquer vetor com ele mesmo sempre dá o vetor zero. Isso porque o ângulo entre um vetor e ele mesmo é zero, e o seno de zero é zero, o que faz todas as componentes do produto vetorial serem nulas.