Use o critério de Leibniz para testar a convergências das séries:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma série alternada dada por:
O conteúdo envolvido aqui é o Critério de Leibniz, que é usado para testar a convergência de séries alternadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar esse critério passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Critério de Leibniz. Ele diz que uma série da forma:
converge se duas condições forem satisfeitas:
- Os termos
são positivos, ou seja, para todo . - A sequência
é monotonamente decrescente, ou seja, para todo . - O limite de
quando tende ao infinito é zero, ou seja, .
Vamos aplicar essas condições à nossa série.
Passo 3
Primeiro, identificamos o termo
na nossa série:
Vamos verificar se
para todo
. Como o numerador e o denominador são polinômios com termos positivos para todo
, temos que
.
Passo 4
Agora, vamos verificar se a sequência
é monotonamente decrescente. Para isso, comparamos
com
:
Queremos ver se
. Observando o comportamento dos termos, conforme
aumenta, o denominador cresce mais rápido que o numerador, fazendo com que os termos
diminuam. Portanto, a sequência é monotonamente decrescente.
Passo 5
Finalmente, vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Podemos simplificar dividindo o numerador e o denominador por
:
Portanto,
.
Resposta
Como todas as condições do Critério de Leibniz são satisfeitas, a série
converge.
Exercícios relacionados
Use o critério de Leibniz para testar a convergências das séries:
Sejam A e B anéis e sejam N um subanel de
. Seja
um homomorfismo de anéis.
Considere cada afirmação:
Navegaçã
1
2
Considere cada afirmação:
Navegaçã
1
2
- Para qualquer
e qualquer inteiro positivo tem-se: e . -
é um subanel de . - Se
tem elemento identidade 1 , não se reduz ao zero, e F é sobrejetora, então é o elemento identidade de B. - F é um isomorfismo se e somente se F é sobrejetora e
. - Se
é um isomorfismo de em , entäo é um isomorfismo de em .
Analise e complete, a cada afirmação, com a opçâo correta.
VERDADEIRA FALSA
Use o critério de Leibniz para testar a convergências das séries: