Use o critério de Leibniz para testar a convergências das séries:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma série alternada dada por:
O conteúdo envolvido aqui é o Critério de Leibniz, que é usado para testar a convergência de séries alternadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar esse critério passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Critério de Leibniz. Ele diz que uma série da forma:
converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos são positivos, ou seja, para todo .
  2. A sequência é monotonamente decrescente, ou seja, para todo .
  3. O limite de quando tende ao infinito é zero, ou seja, .
Vamos aplicar essas condições à nossa série.

Passo 3

Primeiro, identificamos o termo na nossa série:
Vamos verificar se para todo . Como o numerador e o denominador são polinômios com termos positivos para todo , temos que .

Passo 4

Agora, vamos verificar se a sequência é monotonamente decrescente. Para isso, comparamos com :
Queremos ver se . Observando o comportamento dos termos, conforme aumenta, o denominador cresce mais rápido que o numerador, fazendo com que os termos diminuam. Portanto, a sequência é monotonamente decrescente.

Passo 5

Finalmente, vamos calcular o limite de quando tende ao infinito:
Podemos simplificar dividindo o numerador e o denominador por :
Portanto, .

Resposta

Como todas as condições do Critério de Leibniz são satisfeitas, a série
converge.

Exercícios relacionados

Use o critério de Leibniz para testar a convergências das séries:
Sejam A e B anéis e sejam N um subanel de
. Seja um homomorfismo de anéis.
Considere cada afirmação:
Navegaçã
1
2
  1. Para qualquer e qualquer inteiro positivo tem-se: e .
  2. é um subanel de .
  3. Se tem elemento identidade 1 , não se reduz ao zero, e F é sobrejetora, então é o elemento identidade de B.
  4. F é um isomorfismo se e somente se F é sobrejetora e .
  5. Se é um isomorfismo de em , entäo é um isomorfismo de em .
    Analise e complete, a cada afirmação, com a opçâo correta.
    VERDADEIRA FALSA
Use o critério de Leibniz para testar a convergências das séries: