Use o critério de Leibniz para testar a convergências das séries: [3] sumn=1^infty(-1)^n+1 n^2n^3+4

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma série alternada dada por:
sumn=1^infty(-1)^n+1 n^2n^3+4
O conteúdo envolvido aqui é o Critério de Leibniz, que é usado para testar a convergência de séries alternadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar esse critério passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Critério de Leibniz. Ele diz que uma série da forma:
sumn=1^infty (-1)^n+1 bn
converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos são positivos, ou seja, para todo .
  2. A sequência é monotonamente decrescente, ou seja, para todo .
  3. O limite de quando tende ao infinito é zero, ou seja, .
Vamos aplicar essas condições à nossa série.

Passo 3

Primeiro, identificamos o termo bn = n^2n^3+4 na nossa série:
Vamos verificar se para todo . Como o numerador e o denominador são polinômios com termos positivos para todo , temos que .

Passo 4

Agora, vamos verificar se a sequência bn+1 = (n+1)^2(n+1)^3+4 é monotonamente decrescente. Para isso, comparamos com :
Queremos ver se . Observando o comportamento dos termos, conforme aumenta, o denominador cresce mais rápido que o numerador, fazendo com que os termos diminuam. Portanto, a sequência é monotonamente decrescente.

Passo 5

Finalmente, vamos calcular o limite de limn to infty n^2n^3+4 quando limn to infty n^2n^3n^3n^3 + 4n^3 = limn to infty 1n1 + 4n^3 = 01+0 = 0 tende ao infinito:
Podemos simplificar dividindo o numerador e o denominador por :
Portanto, .

Resposta

Como todas as condições do Critério de Leibniz são satisfeitas, a série
sumn=1^infty(-1)^n+1 n^2n^3+4
converge.

Exercícios relacionados