Use o critério de Leibniz para testar a convergências das séries: [1] sumn=1^infty(-1)^n-1 e^2 / n

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
sumn=1^infty (-1)^n-1 e^2/n
O conteúdo que vamos utilizar aqui é o Critério de Leibniz, também conhecido como teste da série alternada. Esse critério nos ajuda a determinar se séries que alternam sinais (positivos e negativos) convergem ou não. Para aplicar esse critério, precisamos verificar dois pontos principais sobre os termos da série.

Passo 2

O Critério de Leibniz diz que uma série alternada da forma
sumn=1^infty (-1)^n-1 an
converge se os seguintes dois requisitos forem atendidos:
  1. Monotonicidade Decrescente: Os termos devem diminuir de valor absoluto conforme aumenta, ou seja, para todo .
  2. Tendência ao Zero: O limite dos termos conforme tende ao infinito deve ser zero, ou seja, .
Vamos aplicar isso à nossa série.

Passo 3

Identificamos os termos da nossa série: .
Primeiro, vamos analisar se os termos estão diminuindo conforme aumenta.
Para ver isso, observamos que conforme aumenta, diminui, já que o denominador está crescendo. Como a função exponencial é crescente, quando diminui, também diminui. Portanto, está diminuindo conforme aumenta.

Passo 4

Agora, vamos verificar o segundo requisito: o limite dos termos limn to infty e^2/n deve ser zero.
Calculamos o limite:
limn to infty e^2/n = e^0 = 1
Sabemos que tende a zero quando tende ao infinito. Assim:
Portanto, o limite dos termos é 1, não zero.

Resposta

Como o limite dos termos sumn=1^infty (-1)^n-1 e^2/n não tende a zero, o Critério de Leibniz não é satisfeito. Portanto, a série
não converge pelo critério de Leibniz.

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