Use o critério de Leibniz para testar a convergências das séries:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
O conteúdo que vamos utilizar aqui é o Critério de Leibniz, também conhecido como teste da série alternada. Esse critério nos ajuda a determinar se séries que alternam sinais (positivos e negativos) convergem ou não. Para aplicar esse critério, precisamos verificar dois pontos principais sobre os termos da série.
Passo 2
O Critério de Leibniz diz que uma série alternada da forma
converge se os seguintes dois requisitos forem atendidos:
- Monotonicidade Decrescente: Os termos
devem diminuir de valor absoluto conforme aumenta, ou seja, para todo . - Tendência ao Zero: O limite dos termos
conforme tende ao infinito deve ser zero, ou seja, .
Vamos aplicar isso à nossa série.
Passo 3
Identificamos os termos da nossa série:
.
Primeiro, vamos analisar se os termos
estão diminuindo conforme
aumenta.
Para ver isso, observamos que conforme
aumenta,
diminui, já que o denominador está crescendo. Como a função exponencial
é crescente, quando
diminui,
também diminui. Portanto,
está diminuindo conforme
aumenta.
Passo 4
Agora, vamos verificar o segundo requisito: o limite dos termos
deve ser zero.
Calculamos o limite:
Sabemos que
tende a zero quando
tende ao infinito. Assim:
Portanto, o limite dos termos
é 1, não zero.
Resposta
Como o limite dos termos
não tende a zero, o Critério de Leibniz não é satisfeito. Portanto, a série
não converge pelo critério de Leibniz.