Sejam V=F^n times n e B é uma matriz não nula fixada em V, quais das seguintes funçð̃es são lineares?
(a) T(A)=B A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um espaço vetorial , ou seja, o conjunto de todas as matrizes com entradas no campo . Temos uma matriz fixa que não é nula. A questão pede para verificar se a função é linear. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função linear e como aplicar essas propriedades para verificar se é de fato linear.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma função entre dois espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores e qualquer escalar , as seguintes propriedades são verdadeiras:
  1. Adição:
  2. Homogeneidade (ou multiplicação por escalar):
Então, para mostrar que é linear, precisamos verificar se essas duas propriedades são atendidas.

Passo 3

Vamos primeiro verificar a propriedade da adição. Pegamos duas matrizes quaisquer T(A + C) = B (A + C) e B (A + C) = BA + BC = T(A) + T(C) em e calculamos :
Sabemos que a multiplicação de matrizes é distributiva em relação à adição, ou seja:
Portanto, a propriedade da adição está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a propriedade da homogeneidade. Tomamos um escalar T(kA) = B (kA) e uma matriz B (kA) = k (BA) = k T(A) em e calculamos :
A multiplicação de uma matriz por um escalar é compatível com a multiplicação externa, então podemos fatorar o escalar fora:
Assim, a propriedade da homogeneidade também está satisfeita.

Resposta

Como as duas propriedades de uma transformação linear são atendidas, podemos concluir que a função é linear.

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