Sejam
e B é uma matriz não nula fixada em
, quais das seguintes funçð̃es são lineares?
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um espaço vetorial
, ou seja, o conjunto de todas as matrizes
com entradas no campo
. Temos uma matriz fixa
que não é nula. A questão pede para verificar se a função
é linear. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função linear e como aplicar essas propriedades para verificar se
é de fato linear.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma função
entre dois espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, as seguintes propriedades são verdadeiras:
- Adição:
- Homogeneidade (ou multiplicação por escalar):
Então, para mostrar que
é linear, precisamos verificar se essas duas propriedades são atendidas.
Passo 3
Vamos primeiro verificar a propriedade da adição. Pegamos duas matrizes quaisquer
e
em
e calculamos
:
Sabemos que a multiplicação de matrizes é distributiva em relação à adição, ou seja:
Portanto, a propriedade da adição está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a propriedade da homogeneidade. Tomamos um escalar
e uma matriz
em
e calculamos
:
A multiplicação de uma matriz por um escalar é compatível com a multiplicação externa, então podemos fatorar o escalar
fora:
Assim, a propriedade da homogeneidade também está satisfeita.
Resposta
Como as duas propriedades de uma transformação linear são atendidas, podemos concluir que a função
é linear.