Sejam e B é uma matriz não nula fixada em , quais das seguintes funçð̃es são lineares?
(a) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um espaço vetorial , ou seja, o conjunto de todas as matrizes com entradas no campo . Temos uma matriz fixa que não é nula. A questão pede para verificar se a função é linear. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função linear e como aplicar essas propriedades para verificar se é de fato linear.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma função entre dois espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores e qualquer escalar , as seguintes propriedades são verdadeiras:
Adição:
Homogeneidade (ou multiplicação por escalar):
Então, para mostrar que é linear, precisamos verificar se essas duas propriedades são atendidas.
Passo 3
Vamos primeiro verificar a propriedade da adição. Pegamos duas matrizes quaisquer e em e calculamos :
Sabemos que a multiplicação de matrizes é distributiva em relação à adição, ou seja:
Portanto, a propriedade da adição está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a propriedade da homogeneidade. Tomamos um escalar e uma matriz em e calculamos :
A multiplicação de uma matriz por um escalar é compatível com a multiplicação externa, então podemos fatorar o escalar fora:
Assim, a propriedade da homogeneidade também está satisfeita.
Resposta
Como as duas propriedades de uma transformação linear são atendidas, podemos concluir que a função é linear.