Sejam
e
conjuntos. As proposições abaixo podem ser verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, prove-as. Caso sejam falsas apresente um contraexemplo (isto é, um exemplo que comprova sua falsidade).
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a proposição
envolvendo os conjuntos
,
e
. Vamos usar conceitos de teoria dos conjuntos, como interseção e diferença de conjuntos, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. A expressão
representa todos os elementos que estão tanto em
quanto em
. Já
é a diferença entre
e essa interseção, ou seja, são os elementos que estão em
mas não em
.
Passo 3
A proposição
está dizendo que existe pelo menos um elemento que está em
mas não em
. Precisamos descobrir se isso é sempre verdadeiro ou se pode ser falso dependendo dos conjuntos.
Passo 4
Vamos pensar: a proposição será verdadeira se, de fato, existir alguma coisa em
que não esteja em
. Mas será que isso sempre acontece? Não necessariamente. Se todos os elementos de
também estiverem em
, então
será vazio.
Passo 5
Então, se
(ou seja, todo elemento de
está em
), então
. Isso faria a proposição ser falsa.
Passo 6
Para comprovar que a proposição pode ser falsa, vamos criar um contraexemplo, ou seja, uma situação específica onde
.
Passo 7
Contraexemplo:
- Seja
- E
Calculando:
-
- Então,
Nesse caso, a diferença é vazia, mostrando que a proposição
é falsa.
Resposta
A proposição
pode ser falsa. Por exemplo, se
e
, então
.
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