Sejam e conjuntos. As proposições abaixo podem ser verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, prove-as. Caso sejam falsas apresente um contraexemplo (isto é, um exemplo que comprova sua falsidade). .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a proposição envolvendo os conjuntos , e . Vamos usar conceitos de teoria dos conjuntos, como interseção e diferença de conjuntos, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . A expressão representa todos os elementos que estão tanto em quanto em . Já é a diferença entre e essa interseção, ou seja, são os elementos que estão em mas não em .

Passo 3

A proposição está dizendo que existe pelo menos um elemento que está em mas não em . Precisamos descobrir se isso é sempre verdadeiro ou se pode ser falso dependendo dos conjuntos.

Passo 4

Vamos pensar: a proposição será verdadeira se, de fato, existir alguma coisa em que não esteja em . Mas será que isso sempre acontece? Não necessariamente. Se todos os elementos de também estiverem em , então será vazio.

Passo 5

Então, se (ou seja, todo elemento de está em ), então . Isso faria a proposição ser falsa.

Passo 6

Para comprovar que a proposição pode ser falsa, vamos criar um contraexemplo, ou seja, uma situação específica onde .

Passo 7

Contraexemplo:
  • Seja
  • E
Calculando:
  • Então,
Nesse caso, a diferença é vazia, mostrando que a proposição é falsa.

Resposta

A proposição pode ser falsa. Por exemplo, se e , então .

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