Sejam e conjuntos. As proposições abaixo podem ser verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, prove-as. Caso sejam falsas apresente um contraexemplo (isto é, um exemplo que comprova sua falsidade). .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado que você me mandou fala sobre conjuntos e operações entre eles. Especificamente, a gente quer saber se a seguinte igualdade é verdadeira ou falsa:
Para resolver isso, vamos precisar entender bem o que significam as operações de interseção ( ) e diferença ( ) entre conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada parte da igualdade representa.
  • : Isso é a interseção de A e B, ou seja, todos os elementos que estão em ambos os conjuntos A e B.
  • : Isso significa todos os elementos que estão em C mas não estão na interseção de A e B. Basicamente, elementos que estão em C e não estão simultaneamente em A e B.
  • : Elementos que estão em C mas não estão em A.
  • : Elementos que estão em C mas não estão em B.
  • : Elementos que estão tanto em quanto em . Ou seja, elementos que estão em C e não estão nem em A nem em B.

Passo 3

Agora, vamos analisar se é igual a .
Vejamos um exemplo para ver se essa igualdade sempre vale.
Suponha que:
Calculando cada lado da igualdade:
Comparando os resultados:
Vemos que , ou seja, a igualdade não se mantém nesse caso.

Resposta

A proposição é falsa. Um contraexemplo é quando , e , onde .

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Sejam e conjuntos. As proposições abaixo podem ser verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, prove-as. Caso sejam falsas apresente um contraexemplo (isto é, um exemplo que comprova sua falsidade). .
Sejam e conjuntos. Prove as seguintes proposições: .
Sejam e conjuntos. Prove as seguintes proposições: .
Sejam e conjuntos. Prove as seguintes proposições: .