Sejam A, B e C conjuntos. Prove as seguintes proposições: B - (B - A) = A ∩ B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Teoria dos Conjuntos, que faz parte da Matemática. O enunciado pede para provar que, dado três conjuntos , e , a expressão é igual a . Para resolver isso, vamos precisar entender bem o que significam a operação de diferença entre conjuntos ( ) e a interseção ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a diferença entre conjuntos. A expressão significa todos os elementos que estão em mas não estão em . Em outras palavras:

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão dentro dos parênteses: . Como acabamos de ver, isso é o conjunto dos elementos que estão em e não estão em . Portanto, significa que estamos tirando desse conjunto todos os elementos que estão em . Na prática, estamos removendo do aqueles que não estão em .

Passo 4

Ao remover do os elementos que não estão em , o que sobra exatamente são os elementos que estão em e em . Isso é a definição da interseção entre e , ou seja:

Resposta

Portanto, demonstramos que:

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