Sejam e conjuntos. Prove as seguintes proposições: .

Passo 1

Vamos resolver a proposição . Estamos lidando com teoria dos conjuntos, especificamente com interseção e diferença de conjuntos. Para provar isso, vamos precisar entender o que cada operação significa e como elas se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a diferença de conjuntos . Isso representa todos os elementos que estão em mas não estão em . Em outras palavras:

Passo 3

Agora, vamos olhar para a interseção . A interseção de dois conjuntos contém todos os elementos que estão em ambos os conjuntos simultaneamente. Ou seja:

Passo 4

Substituindo a definição de na interseção, temos:
Perceba que estamos dizendo que está em e não está em ao mesmo tempo, o que é uma contradição.

Passo 5

Como não existem elementos que podem estar em e ao mesmo tempo não estar em , o conjunto não contém nenhum elemento. Portanto:

Resposta

A interseção é vazia, ou seja, .

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Sejam e conjuntos. As proposições abaixo podem ser verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, prove-as. Caso sejam falsas apresente um contraexemplo (isto é, um exemplo que comprova sua falsidade). .
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