Sejam
e
conjuntos. Prove as seguintes proposições:
.
Passo 1
Vamos resolver a proposição
. Estamos lidando com teoria dos conjuntos, especificamente com interseção e diferença de conjuntos. Para provar isso, vamos precisar entender o que cada operação significa e como elas se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a diferença de conjuntos
. Isso representa todos os elementos que estão em
mas não estão em
. Em outras palavras:
Passo 3
Agora, vamos olhar para a interseção
. A interseção de dois conjuntos contém todos os elementos que estão em ambos os conjuntos simultaneamente. Ou seja:
Passo 4
Substituindo a definição de
na interseção, temos:
Perceba que estamos dizendo que
está em
e não está em
ao mesmo tempo, o que é uma contradição.
Passo 5
Como não existem elementos que podem estar em
e ao mesmo tempo não estar em
, o conjunto
não contém nenhum elemento. Portanto:
Resposta
A interseção
é vazia, ou seja,
.
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e
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Sejam
e
conjuntos. As proposições abaixo podem ser verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, prove-as. Caso sejam falsas apresente um contraexemplo (isto é, um exemplo que comprova sua falsidade).
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