Sejam e conjuntos. Prove as seguintes proposições: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de teoria dos conjuntos! A gente precisa provar que . Aqui, estamos trabalhando com operações de união ( ) e diferença de conjuntos ( ). Para resolver isso, vamos mostrar que cada lado da equação está contido no outro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso representa todos os elementos que estão em mas não estão em . Ou seja, estamos pegando o conjunto e removendo qualquer coisa que também esteja em .

Passo 3

Agora, vamos olhar para . A união ( ) entre e significa que estamos juntando todos os elementos de com todos os elementos de que não estão em .

Passo 4

Vamos provar que . Isso quer dizer que qualquer elemento que esteja em também está em .
  • Se um elemento está em , então claramente está em .
  • Se um elemento está em , ele está em e, portanto, também está em .
Assim, todo elemento de está em .

Passo 5

Agora, vamos provar que . Ou seja, qualquer elemento que esteja em também está em .
  • Se um elemento está em , obviamente está em .
  • Se um elemento está em mas não em , ele está em , então também está em .
Portanto, todo elemento de está em .

Resposta

Como mostramos que e , concluímos que .

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Sejam e conjuntos. Prove as seguintes proposições: .
Sejam e conjuntos. As proposições abaixo podem ser verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, prove-as. Caso sejam falsas apresente um contraexemplo (isto é, um exemplo que comprova sua falsidade). .
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