Sejam
e
conjuntos. Prove as seguintes proposições:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de teoria dos conjuntos! A gente precisa provar que
. Aqui, estamos trabalhando com operações de união (
) e diferença de conjuntos (
). Para resolver isso, vamos mostrar que cada lado da equação está contido no outro.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso representa todos os elementos que estão em
mas não estão em
. Ou seja, estamos pegando o conjunto
e removendo qualquer coisa que também esteja em
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para
. A união (
) entre
e
significa que estamos juntando todos os elementos de
com todos os elementos de
que não estão em
.
Passo 4
Vamos provar que
. Isso quer dizer que qualquer elemento que esteja em
também está em
.
- Se um elemento está em
, então claramente está em . - Se um elemento está em
, ele está em e, portanto, também está em .
Assim, todo elemento de
está em
.
Passo 5
Agora, vamos provar que
. Ou seja, qualquer elemento que esteja em
também está em
.
- Se um elemento está em
, obviamente está em . - Se um elemento está em
mas não em , ele está em , então também está em .
Portanto, todo elemento de
está em
.
Resposta
Como mostramos que
e
, concluímos que
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
conjuntos. Prove as seguintes proposições:
.
Sejam
e
conjuntos. As proposições abaixo podem ser verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, prove-as. Caso sejam falsas apresente um contraexemplo (isto é, um exemplo que comprova sua falsidade).
.
Sejam
e
conjuntos. As proposições abaixo podem ser verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, prove-as. Caso sejam falsas apresente um contraexemplo (isto é, um exemplo que comprova sua falsidade).
.
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e
conjuntos. As proposições abaixo podem ser verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, prove-as. Caso sejam falsas apresente um contraexemplo (isto é, um exemplo que comprova sua falsidade).
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