Sejam A, B e C conjuntos. Prove as seguintes proposições: A ∪ (B - A) = A ∪ B.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de teoria dos conjuntos! A gente precisa provar que . Aqui, estamos trabalhando com operações de união ( ) e diferença de conjuntos ( ). Para resolver isso, vamos mostrar que cada lado da equação está contido no outro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso representa todos os elementos que estão em mas não estão em . Ou seja, estamos pegando o conjunto e removendo qualquer coisa que também esteja em .

Passo 3

Agora, vamos olhar para . A união ( ) entre e significa que estamos juntando todos os elementos de com todos os elementos de que não estão em .

Passo 4

Vamos provar que . Isso quer dizer que qualquer elemento que esteja em também está em .
  • Se um elemento está em , então claramente está em .
  • Se um elemento está em , ele está em e, portanto, também está em .
Assim, todo elemento de está em .

Passo 5

Agora, vamos provar que . Ou seja, qualquer elemento que esteja em também está em .
  • Se um elemento está em , obviamente está em .
  • Se um elemento está em mas não em , ele está em , então também está em .
Portanto, todo elemento de está em .

Resposta

Como mostramos que e , concluímos que .

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