Sejam e conjuntos. As proposições abaixo podem ser verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, prove-as. Caso sejam falsas apresente um contraexemplo (isto é, um exemplo que comprova sua falsidade). .

Passo 1

Vamos dar uma olhada na questão que você me enviou. A afirmação é:
Estamos trabalhando com teoria dos conjuntos, mais especificamente com operações de união, interseção e diferença entre conjuntos. Para resolver essa afirmação, vamos precisar entender o que significa cada uma dessas operações e como elas se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as operações envolvidas:
  • Interseção ( ): É o conjunto formado pelos elementos que estão tanto em quanto em .
  • Diferença ( ): É o conjunto formado pelos elementos que estão em mas não estão em .
Portanto, significa pegar todos os elementos de que não estão na interseção de e .

Passo 3

Vamos analisar a afirmação
Queremos saber se a diferença entre e a interseção de com é diferente de . Para isso, vamos considerar quando essa igualdade pode ou não ser verdadeira.

Passo 4

Vamos considerar dois cenários:
  1. Caso 1: e são disjuntos (não têm elementos em comum).
    • Nesse caso, (conjunto vazio).
    • Então, .
    • Portanto, a afirmação se torna , que é falsa.
  2. Caso 2: é um subconjunto de (todos os elementos de estão em ).
    • Aqui, .
    • Então, .
    • Dependendo de , pode ser diferente de , tornando a afirmação verdadeira nesse caso.

Passo 5

Como vimos, a veracidade da afirmação depende da relação entre e . Em alguns casos, a afirmação pode ser verdadeira, e em outros, pode ser falsa.

Resposta

A afirmação pode ser verdadeira ou falsa dependendo dos conjuntos e . Por exemplo, se e forem conjuntos disjuntos, então , fazendo a afirmação falsa. Portanto, a proposição não é sempre verdadeira.

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Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para provar que as funções a seguir são contínuas no ponto .