Sejam A, B e C conjuntos. As proposições abaixo podem ser verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, prove-as. Caso sejam falsas apresente um contraexemplo (isto é, um exemplo que comprova sua falsidade). A - (A ∩ B) ≠ A.

Passo 1

Vamos dar uma olhada na questão que você me enviou. A afirmação é:
Estamos trabalhando com teoria dos conjuntos, mais especificamente com operações de união, interseção e diferença entre conjuntos. Para resolver essa afirmação, vamos precisar entender o que significa cada uma dessas operações e como elas se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as operações envolvidas:
  • Interseção ( A ∩ B): É o conjunto formado pelos elementos que estão tanto em A quanto em B.
  • Diferença ( ): É o conjunto formado pelos elementos que estão em A mas não estão em B.
Portanto, significa pegar todos os elementos de A que não estão na interseção de A e B.

Passo 3

Vamos analisar a afirmação
Queremos saber se a diferença entre A e a interseção de A com B é diferente de A. Para isso, vamos considerar quando essa igualdade pode ou não ser verdadeira.

Passo 4

Vamos considerar dois cenários:
  1. Caso 1: A e B são disjuntos (não têm elementos em comum).
    • Nesse caso, (conjunto vazio).
    • Então, .
    • Portanto, a afirmação se torna , que é falsa.
  2. Caso 2: B é um subconjunto de A (todos os elementos de B estão em A).
    • Aqui, .
    • Então, .
    • Dependendo de B, pode ser diferente de A, tornando a afirmação verdadeira nesse caso.

Passo 5

Como vimos, a veracidade da afirmação depende da relação entre A e B. Em alguns casos, a afirmação pode ser verdadeira, e em outros, pode ser falsa.

Resposta

A afirmação pode ser verdadeira ou falsa dependendo dos conjuntos A e B. Por exemplo, se A e B forem conjuntos disjuntos, então , fazendo a afirmação falsa. Portanto, a proposição não é sempre verdadeira.

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