Sejam
e
conjuntos. As proposições abaixo podem ser verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, prove-as. Caso sejam falsas apresente um contraexemplo (isto é, um exemplo que comprova sua falsidade).
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada na questão que você me enviou. A afirmação é:
Estamos trabalhando com teoria dos conjuntos, mais especificamente com operações de união, interseção e diferença entre conjuntos. Para resolver essa afirmação, vamos precisar entender o que significa cada uma dessas operações e como elas se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as operações envolvidas:
- Interseção (
): É o conjunto formado pelos elementos que estão tanto em quanto em . - Diferença (
): É o conjunto formado pelos elementos que estão em mas não estão em .
Portanto,
significa pegar todos os elementos de
que não estão na interseção de
e
.
Passo 3
Vamos analisar a afirmação
Queremos saber se a diferença entre
e a interseção de
com
é diferente de
. Para isso, vamos considerar quando essa igualdade pode ou não ser verdadeira.
Passo 4
Vamos considerar dois cenários:
-
Caso 1:
e são disjuntos (não têm elementos em comum). - Nesse caso,
(conjunto vazio). - Então,
. - Portanto, a afirmação se torna
, que é falsa.
- Nesse caso,
-
Caso 2:
é um subconjunto de (todos os elementos de estão em ). - Aqui,
. - Então,
. - Dependendo de
, pode ser diferente de , tornando a afirmação verdadeira nesse caso.
- Aqui,
Passo 5
Como vimos, a veracidade da afirmação depende da relação entre
e
. Em alguns casos, a afirmação pode ser verdadeira, e em outros, pode ser falsa.
Resposta
A afirmação
pode ser verdadeira ou falsa dependendo dos conjuntos
e
. Por exemplo, se
e
forem conjuntos disjuntos, então
, fazendo a afirmação falsa. Portanto, a proposição não é sempre verdadeira.
Exercícios relacionados
Sejam
e
conjuntos. Prove as seguintes proposições:
.
Sejam
e
conjuntos. Prove as seguintes proposições:
.
Sejam
e
conjuntos. As proposições abaixo podem ser verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, prove-as. Caso sejam falsas apresente um contraexemplo (isto é, um exemplo que comprova sua falsidade).
.
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para provar que as funções a seguir são contínuas no ponto
.