Sejam e conjuntos. Prove ou dê um contra-exemplo para as seguintes afirmações: Se então

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre conjuntos e a relação entre eles. A matéria aqui é Teoria dos Conjuntos, e para resolver, a gente vai precisar entender o que significa um conjunto ser subconjunto de outro e como funciona a diferença entre conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que todo elemento de também está em . Ou seja, está completamente contido dentro de .

Passo 3

Agora, vamos ver o que é . A diferença entre conjuntos e , representada por , é o conjunto de elementos que estão em mas não estão em .

Passo 4

A afirmação que a gente precisa provar ou refutar é: "Se , então ". Vamos analisar isso.

Passo 5

Se , todo elemento de está em . Então, quando tentamos formar , estamos procurando elementos que estão em e não estão em . Mas, como todo elemento de já está em , não vai sobrar nenhum elemento.

Passo 6

Ou seja, vai ser o conjunto vazio, que simbolizamos por . Então, , e não igual a , a não ser que também seja vazio.

Passo 7

Portanto, a afirmação "Se , então " não é verdadeira em geral. Ela só seria verdadeira se for o conjunto vazio.

Resposta

A afirmação é falsa. Se , então , que é diferente de , a não ser que seja vazio.

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