Sejam
e
conjuntos. Prove ou dê um contra-exemplo para as seguintes afirmações: Se
então
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre conjuntos e a relação entre eles. A matéria aqui é Teoria dos Conjuntos, e para resolver, a gente vai precisar entender o que significa um conjunto ser subconjunto de outro e como funciona a diferença entre conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que todo elemento de
também está em
. Ou seja,
está completamente contido dentro de
.
Passo 3
Agora, vamos ver o que é
. A diferença entre conjuntos
e
, representada por
, é o conjunto de elementos que estão em
mas não estão em
.
Passo 4
A afirmação que a gente precisa provar ou refutar é: "Se
, então
". Vamos analisar isso.
Passo 5
Se
, todo elemento de
está em
. Então, quando tentamos formar
, estamos procurando elementos que estão em
e não estão em
. Mas, como todo elemento de
já está em
, não vai sobrar nenhum elemento.
Passo 6
Ou seja,
vai ser o conjunto vazio, que simbolizamos por
. Então,
, e não igual a
, a não ser que
também seja vazio.
Passo 7
Portanto, a afirmação "Se
, então
" não é verdadeira em geral. Ela só seria verdadeira se
for o conjunto vazio.
Resposta
A afirmação é falsa. Se
, então
, que é diferente de
, a não ser que
seja vazio.
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Sejam
e
conjuntos. Para cada um dos seguintes teoremas enuncie em português a hipótese e a tese. Prove cada teorema.
.
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.