Sejam
e
conjuntos. Para cada um dos seguintes teoremas enuncie em português a hipótese e a tese. Prove cada teorema.
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá quatro conjuntos:
,
,
e
. A gente vai trabalhar com Teoria dos Conjuntos, mais especificamente com relações de inclusão e união de conjuntos. Nosso objetivo é identificar qual é a hipótese e qual é a tese desse teorema e depois prová-lo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que diz o teorema: "Se
e
, então
". Aqui,
significa que todo elemento de
está também em
, e
significa que todo elemento de
está em
.
Passo 3
A hipótese do teorema são as condições iniciais que assumimos como verdadeiras. No caso, a hipótese é que
e
. A tese é a conclusão que queremos chegar a partir dessas hipóteses, que aqui é
.
Passo 4
Agora, vamos à prova. Queremos mostrar que qualquer elemento que esteja em
também está em
. Ou seja, se pegarmos um elemento
que está em
, devemos mostrar que
está em
.
Passo 5
Pela definição de união de conjuntos, se
, então
ou
. Vamos analisar esses dois casos:
-
Caso 1: Se
, como , então . Portanto, . -
Caso 2: Se
, como , então . Portanto, .
Passo 6
Em ambos os casos, mostramos que
. Logo, qualquer elemento que esteja em
também está em
, o que prova que
.
Resposta
Portanto, provamos que se
e
, então
.
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Sejam
e
conjuntos. Para cada um dos seguintes teoremas enuncie em português a hipótese e a tese. Prove cada teorema.
.
Sejam
e
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е
.
Sejam
e
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.
Sejam
e
conjuntos. Prove ou dê um contra-exemplo para as seguintes afirmações: Se
então