Sejam e conjuntos. Para cada um dos seguintes teoremas enuncie em português a hipótese e a tese. Prove cada teorema. e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá quatro conjuntos: , , e . A gente vai trabalhar com Teoria dos Conjuntos, mais especificamente com relações de inclusão e união de conjuntos. Nosso objetivo é identificar qual é a hipótese e qual é a tese desse teorema e depois prová-lo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que diz o teorema: "Se e , então ". Aqui, significa que todo elemento de está também em , e significa que todo elemento de está em .

Passo 3

A hipótese do teorema são as condições iniciais que assumimos como verdadeiras. No caso, a hipótese é que e . A tese é a conclusão que queremos chegar a partir dessas hipóteses, que aqui é .

Passo 4

Agora, vamos à prova. Queremos mostrar que qualquer elemento que esteja em também está em . Ou seja, se pegarmos um elemento que está em , devemos mostrar que está em .

Passo 5

Pela definição de união de conjuntos, se , então ou . Vamos analisar esses dois casos:
  1. Caso 1: Se , como , então . Portanto, .
  2. Caso 2: Se , como , então . Portanto, .

Passo 6

Em ambos os casos, mostramos que . Logo, qualquer elemento que esteja em também está em , o que prova que .

Resposta

Portanto, provamos que se e , então .

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Sejam e conjuntos. Para cada um dos seguintes teoremas enuncie em português a hipótese e a tese. Prove cada teorema. е .
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Sejam e conjuntos. Prove ou dê um contra-exemplo para as seguintes afirmações: Se então