Sejam
e
conjuntos. Para cada um dos seguintes teoremas enuncie em português a hipótese e a tese. Prove cada teorema.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre conjuntos
e
. A gente precisa identificar a hipótese e a tese do teorema que diz: Se
e
, então
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de união, interseção e diferença entre conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a hipótese. A hipótese são as condições que precisamos assumir para que o teorema seja verdadeiro. Nesse caso, temos duas hipóteses:
- A união de
e é igual a , ou seja, . - A interseção de
e é vazia, ou seja, .
Passo 3
A tese é o que queremos provar a partir das hipóteses. Aqui, a tese é que
é igual à diferença entre
e
, ou seja,
.
Passo 4
Vamos provar que
. Pela hipótese
, todo elemento de
está em
ou em
.
Passo 5
Como
, nenhum elemento está em
e
ao mesmo tempo. Isso significa que os elementos de
são exatamente os que estão em
mas não estão em
.
Passo 6
Portanto,
consiste de todos os elementos de
que não pertencem a
, o que é definido como a diferença
.
Resposta
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Sejam
e
conjuntos. Prove ou dê um contra-exemplo para as seguintes afirmações: Se
então
.
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