Sejam
e
conjuntos. Para cada um dos seguintes teoremas enuncie em português a hipótese e a tese. Prove cada teorema.
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um teorema sobre conjuntos que envolve interseção e união. O que precisamos fazer é identificar a hipótese (o “se”) e a tese (o “então”) desse teorema, e depois provar que ele é verdadeiro. Para isso, vamos usar conceitos básicos de conjuntos, especificamente as operações de interseção (
) e união (
).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a hipótese e a tese do teorema dado:
-
Hipótese:
Isso quer dizer que os conjuntose não têm elementos em comum; eles são disjuntos. -
Tese:
Isso afirma que a interseção decom a união de e é igual à interseção de com .
Passo 3
Agora, vamos provar que se a hipótese é verdadeira (
), então a tese também é verdadeira (
).
Primeiro, lembramos de uma propriedade das operações com conjuntos:
Essa é a distributiva da interseção sobre a união. Isso significa que intersecionar
com a união de
e
é o mesmo que unir as interseções de
com
e de
com
separadamente.
Agora, sabemos pela hipótese que
. Substituindo isso na equação anterior, temos:
Sabemos que unir qualquer conjunto com o conjunto vazio (
) resulta no próprio conjunto. Então:
Portanto, chegamos à conclusão de que:
Resposta
Se
, então
.
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Sejam
e
conjuntos. Para cada um dos seguintes teoremas enuncie em português a hipótese e a tese. Prove cada teorema.
e
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e
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Sejam
e
conjuntos. Prove ou dê um contra-exemplo para as seguintes afirmações: Se
então
Sejam
e
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então
.