Sejam e conjuntos. Para cada um dos seguintes teoremas enuncie em português a hipótese e a tese. Prove cada teorema. .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um teorema sobre conjuntos que envolve interseção e união. O que precisamos fazer é identificar a hipótese (o “se”) e a tese (o “então”) desse teorema, e depois provar que ele é verdadeiro. Para isso, vamos usar conceitos básicos de conjuntos, especificamente as operações de interseção ( ) e união ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a hipótese e a tese do teorema dado:
  • Hipótese:
    Isso quer dizer que os conjuntos e não têm elementos em comum; eles são disjuntos.
  • Tese:
    Isso afirma que a interseção de com a união de e é igual à interseção de com .

Passo 3

Agora, vamos provar que se a hipótese é verdadeira ( ), então a tese também é verdadeira ( ).
Primeiro, lembramos de uma propriedade das operações com conjuntos:
Essa é a distributiva da interseção sobre a união. Isso significa que intersecionar com a união de e é o mesmo que unir as interseções de com e de com separadamente.
Agora, sabemos pela hipótese que . Substituindo isso na equação anterior, temos:
Sabemos que unir qualquer conjunto com o conjunto vazio ( ) resulta no próprio conjunto. Então:
Portanto, chegamos à conclusão de que:

Resposta

Se , então .

Exercícios relacionados

Sejam e conjuntos. Para cada um dos seguintes teoremas enuncie em português a hipótese e a tese. Prove cada teorema. e
Sejam e conjuntos. Para cada um dos seguintes teoremas enuncie em português a hipótese e a tese. Prove cada teorema. .
Sejam e conjuntos. Prove ou dê um contra-exemplo para as seguintes afirmações: Se então
Sejam e conjuntos. Prove ou dê um contra-exemplo para as seguintes afirmações: Se então .