Sejam A, B, C e D conjuntos. Para cada um dos seguintes teoremas enuncie em português a hipótese e a tese. Prove cada teorema. A ∩ C = ∅ ⇒ A ∩ (B ∪ C) = A ∩ B.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um teorema sobre conjuntos que envolve interseção e união. O que precisamos fazer é identificar a hipótese (o “se”) e a tese (o “então”) desse teorema, e depois provar que ele é verdadeiro. Para isso, vamos usar conceitos básicos de conjuntos, especificamente as operações de interseção ( ) e união ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a hipótese e a tese do teorema dado:
  • Hipótese:
    Isso quer dizer que os conjuntos A e C não têm elementos em comum; eles são disjuntos.
  • Tese:
    Isso afirma que a interseção de A com a união de B e C é igual à interseção de A com B.

Passo 3

Agora, vamos provar que se a hipótese é verdadeira ( ), então a tese também é verdadeira ( ).
Primeiro, lembramos de uma propriedade das operações com conjuntos:
Essa é a distributiva da interseção sobre a união. Isso significa que intersecionar A com a união de B e C é o mesmo que unir as interseções de A com B e de A com C separadamente.
Agora, sabemos pela hipótese que . Substituindo isso na equação anterior, temos:
Sabemos que unir qualquer conjunto com o conjunto vazio ( ) resulta no próprio conjunto. Então:
Portanto, chegamos à conclusão de que:

Resposta

Se , então .

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