Sejam
conjuntos quaisquer. Prove as seguintes afirmações:
(d) Se
e
, então
.
(d) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que, se os conjuntos
e
estão dentro de
(
e
), então a união deles (
) também está dentro de
. Isso está no tópico de Teoria dos Conjuntos, especificamente sobre subconjuntos e união de conjuntos. Vamos usar as definições básicas de subconjunto e união para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
e
. Isso quer dizer que todo elemento de
está também em
e todo elemento de
está em
.
Passo 3
Agora, vamos pensar na união
. Por definição,
é o conjunto que contém todos os elementos que estão em
ou em
ou em ambos.
Passo 4
Para provar que
, precisamos mostrar que qualquer elemento que esteja em
também está em
.
Passo 5
Vamos pegar um elemento qualquer
que pertença a
. Isso significa que
está em
ou em
.
Passo 6
Como
está em
e
, então
também está em
. Do mesmo jeito, se
está em
e
,
também está em
.
Passo 7
Então, qualquer elemento
de
está em
. Isso prova que
.
Resposta
Portanto, se
e
, então
.