Sejam A, B, C conjuntos quaisquer. Prove as seguintes afirmações:
(d) Se A ⊆ C e B ⊆ C, então A ∪ B ⊆ C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que, se os conjuntos e estão dentro de ( e ), então a união deles ( ) também está dentro de . Isso está no tópico de Teoria dos Conjuntos, especificamente sobre subconjuntos e união de conjuntos. Vamos usar as definições básicas de subconjunto e união para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa e . Isso quer dizer que todo elemento de está também em e todo elemento de está em .

Passo 3

Agora, vamos pensar na união . Por definição, é o conjunto que contém todos os elementos que estão em ou em ou em ambos.

Passo 4

Para provar que , precisamos mostrar que qualquer elemento que esteja em também está em .

Passo 5

Vamos pegar um elemento qualquer que pertença a . Isso significa que está em ou em .

Passo 6

Como está em e , então também está em . Do mesmo jeito, se está em e , também está em .

Passo 7

Então, qualquer elemento de está em . Isso prova que .

Resposta

Portanto, se e , então .

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