Sejam A, B, C conjuntos quaisquer. Prove as seguintes afirmações:
(a) A ⊆ A ∪ B.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três conjuntos quaisquer A, B, C e precisamos provar que o conjunto A está contido no conjunto A ∪ B. Isso está relacionado ao conteúdo de teoria dos conjuntos, mais especificamente sobre subconjuntos e a união de conjuntos. Para resolver, vamos lembrar a definição de subconjunto e da união de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto ser subconjunto de outro. Dizemos que A ⊆ B se todo elemento de A também for um elemento de B.

Passo 3

Agora, consideremos a união de A com B, que é o conjunto A ∪ B formado por todos os elementos que estão em A, em B ou em ambos.

Passo 4

Vamos provar que A ⊆ A ∪ B. Para isso, pegamos um elemento qualquer x de A e mostramos que esse elemento também pertence a A ∪ B.
  • Se x pertence a A, então, por definição da união, x também pertence a A ∪ B.

Resposta

Portanto, mostramos que todo elemento de A está também em A ∪ B, logo, A ⊆ A ∪ B.

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