Sejam A, B, C conjuntos quaisquer. Prove as seguintes afirmações:
(g) A ∩ ∅ = ∅.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo: “Sejam A, B, C conjuntos quaisquer. Prove que .” Estamos falando de teoria dos conjuntos, especificamente sobre interseção de conjuntos e o conjunto vazio. Para resolver isso, vamos precisar saber o que significa a interseção de dois conjuntos e o que é o conjunto vazio.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é interseção de conjuntos. A interseção de dois conjuntos, A e B, escrita como A ∩ B, é o conjunto formado por todos os elementos que estão em ambos os conjuntos A e B. Ou seja, um elemento pertence a A ∩ B se e somente se ele está em A e em B.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o conjunto vazio, simbolizado por . O conjunto vazio é aquele que não contém nenhum elemento. É o único conjunto do tipo que não tem nada dentro dele.

Passo 4

Vamos aplicar essas definições na afirmação . Segundo a definição de interseção, para que um elemento pertença a , ele teria que estar simultaneamente em A e em . Mas, como vimos, não tem nenhum elemento. Então, não existe nenhum elemento que possa estar em ambos os conjuntos ao mesmo tempo.

Passo 5

Já que não há elementos que estejam em , isso significa que a interseção não tem nenhum elemento. Portanto, é o próprio conjunto vazio, ou seja, .

Resposta

Assim, provamos que .

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