Sejam conjuntos quaisquer. Prove as seguintes afirmações:
(g) .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo: “Sejam conjuntos quaisquer. Prove que .” Estamos falando de teoria dos conjuntos, especificamente sobre interseção de conjuntos e o conjunto vazio. Para resolver isso, vamos precisar saber o que significa a interseção de dois conjuntos e o que é o conjunto vazio.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é interseção de conjuntos. A interseção de dois conjuntos, e , escrita como , é o conjunto formado por todos os elementos que estão em ambos os conjuntos e . Ou seja, um elemento pertence a se e somente se ele está em e em .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o conjunto vazio, simbolizado por . O conjunto vazio é aquele que não contém nenhum elemento. É o único conjunto do tipo que não tem nada dentro dele.

Passo 4

Vamos aplicar essas definições na afirmação . Segundo a definição de interseção, para que um elemento pertença a , ele teria que estar simultaneamente em e em . Mas, como vimos, não tem nenhum elemento. Então, não existe nenhum elemento que possa estar em ambos os conjuntos ao mesmo tempo.

Passo 5

Já que não há elementos que estejam em , isso significa que a interseção não tem nenhum elemento. Portanto, é o próprio conjunto vazio, ou seja, .

Resposta

Assim, provamos que .

Exercícios relacionados

Sejam conjuntos quaisquer. Prove as seguintes afirmações:
(d) Se e , então .
Sejam conjuntos quaisquer. Prove as seguintes afirmações:
(a) .
Negue as seguintes proposições:
§ .
Transcreva as seguintes proposições para a forma simbólica. Em seguida, escreva a negação, em português e simbólica, de cada uma delas.
(d) Existem dois números inteiros cuja soma é 1000.