Sejam
conjuntos quaisquer. Prove as seguintes afirmações:
(g)
.
(g)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo: “Sejam
conjuntos quaisquer. Prove que
.” Estamos falando de teoria dos conjuntos, especificamente sobre interseção de conjuntos e o conjunto vazio. Para resolver isso, vamos precisar saber o que significa a interseção de dois conjuntos e o que é o conjunto vazio.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é interseção de conjuntos. A interseção de dois conjuntos,
e
, escrita como
, é o conjunto formado por todos os elementos que estão em ambos os conjuntos
e
. Ou seja, um elemento pertence a
se e somente se ele está em
e em
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o conjunto vazio, simbolizado por
. O conjunto vazio é aquele que não contém nenhum elemento. É o único conjunto do tipo que não tem nada dentro dele.
Passo 4
Vamos aplicar essas definições na afirmação
. Segundo a definição de interseção, para que um elemento pertença a
, ele teria que estar simultaneamente em
e em
. Mas, como vimos,
não tem nenhum elemento. Então, não existe nenhum elemento que possa estar em ambos os conjuntos ao mesmo tempo.
Passo 5
Já que não há elementos que estejam em
, isso significa que a interseção
não tem nenhum elemento. Portanto,
é o próprio conjunto vazio, ou seja,
.
Resposta
Assim, provamos que
.
Exercícios relacionados
Sejam
conjuntos quaisquer. Prove as seguintes afirmações:
(d) Se e
, então
.
(d) Se
Sejam
conjuntos quaisquer. Prove as seguintes afirmações:
(a) .
(a)
Negue as seguintes proposições:
§ .
§
Transcreva as seguintes proposições para a forma simbólica. Em seguida, escreva a negação, em português e simbólica, de cada uma delas.
(d) Existem dois números inteiros cuja soma é 1000.
(d) Existem dois números inteiros cuja soma é 1000.