Sejam A=(2,-1,5), B=(1,3,2), C=(6,-1,2) e D=(4,-9,8).
(b) o quadrilátero square A B C D é um paralelogramo ?

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pergunta se o quadrilátero formado pelos pontos , , e é um paralelogramo. Para isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre vetores e propriedades dos paralelogramos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que caracteriza um paralelogramo. Um paralelogramo é um quadrilátero onde os lados opostos são paralelos e de igual comprimento. Para verificar isso, vamos calcular os vetores que representam os lados do quadrilátero e comparar seus comprimentos e direções.

Passo 3

Vamos identificar os vetores dos lados:
  • Vetor : de para
  • Vetor : de para
  • Vetor : de para
  • Vetor : de para

Passo 4

Calculando AB = B - A = (1 - 2, 3 - (-1), 2 - 5) = (-1, 4, -3) :
CD = D - C = (4 - 6, -9 - (-1), 8 - 2) = (-2, -8, 6)
Calculando :

Passo 5

Agora, calculando BC = C - B = (6 - 1, -1 - 3, 2 - 2) = (5, -4, 0) :
DA = A - D = (2 - 4, -1 - (-9), 5 - 8) = (-2, 8, -3)
Calculando :

Passo 6

Para os lados opostos serem paralelos, os vetores devem ser múltiplos um do outro. Vamos verificar se CD = 2 times AB? Rightarrow 2 times (-1, 4, -3) = (-2, 8, -6) neq (-2, -8, 6) é múltiplo de e se é múltiplo de .
Analisando e :
Não são múltiplos, então e não são paralelos.

Passo 7

Já que os lados opostos não são paralelos, o quadrilátero não satisfaz a condição para ser um paralelogramo.

Resposta

O quadrilátero não é um paralelogramo.

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