Sejam u=(1,2,-1), v=(-1,1,-1) e w=2 imath-jmath+k são três vetores em base ortonormal E=(imath, jmath, k). Se ponto P=(1,1,1) calcule coordenadas três pontos A= P+u, B=P+v e C=P+w. Usando produto vetorial calcule
d: (u times v) times w e u times(v times w)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular as coordenadas dos pontos , e a partir de um ponto e três vetores , e . Depois, precisamos usar o produto vetorial para calcular e . Para isso, vamos precisar saber como somar vetores e como calcular o produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas dos pontos A = P + u, B = P + v, C = P + w , A = (1, 1, 1) + (1, 2, -1) = (1+1, 1+2, 1+(-1)) = (2, 3, 0) e B = (1, 1, 1) + (-1, 1, -1) = (1+(-1), 1+1, 1+(-1)) = (0, 2, 0) . Sabemos que:
w = 2imath - jmath + k = (2, -1, 1)
Ponto C = (1, 1, 1) + (2, -1, 1) = (1+2, 1+(-1), 1+1) = (3, 0, 2) tem coordenadas .
Vamos calcular cada um deles:
Para o ponto A:
Para o ponto B:
Para o ponto C:

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial a times b = imath & jmath & k a1 & a2 & a3 b1 & b2 & b3 . O produto vetorial de dois vetores em u times v = imath & jmath & k 1 & 2 & -1 -1 & 1 & -1 é dado por:
u times v = imath(2 cdot (-1) - (-1) cdot 1) - jmath(1 cdot (-1) - (-1) cdot (-1)) + k(1 cdot 1 - 2 cdot (-1))
Aplicando para = imath(-2 + 1) - jmath(-1 - 1) + k(1 + 2) e = -imath + 2jmath + 3k :
= (-1, 2, 3)
Calculando o determinante:

Passo 4

Vamos agora calcular (u times v) times w = imath & jmath & k -1 & 2 & 3 2 & -1 & 1 . Já temos = imath(2 cdot 1 - 3 cdot (-1)) - jmath((-1) cdot 1 - 3 cdot 2) + k((-1) cdot (-1) - 2 cdot 2) e = imath(2 + 3) - jmath(-1 - 6) + k(1 - 4) .
Usando a mesma fórmula do produto vetorial:
= 5imath + 7jmath - 3k
Calculando o determinante:
= (5, 7, -3)

Passo 5

Agora, vamos calcular v times w = imath & jmath & k -1 & 1 & -1 2 & -1 & 1 . Temos = imath(1 cdot 1 - (-1) cdot (-1)) - jmath((-1) cdot 1 - (-1) cdot 2) + k((-1) cdot (-1) - 1 cdot 2) e = imath(1 - 1) - jmath(-1 - (-2)) + k(1 - 2) .
Aplicando o produto vetorial:
= 0imath - (-1 + 2)jmath -1k
Calculando o determinante:
= 0imath + 1jmath -1k
= (0, 1, -1)

Passo 6

Por último, vamos calcular u times (v times w) = imath & jmath & k 1 & 2 & -1 0 & 1 & -1 . Já encontramos = imath(2 cdot (-1) - (-1) cdot 1) - jmath(1 cdot (-1) - (-1) cdot 0) + k(1 cdot 1 - 2 cdot 0) e = imath(-2 + 1) - jmath(-1 - 0) + k(1 - 0) .
Aplicando o produto vetorial:
= -imath + jmath + k
Calculando o determinante:
= (-1, 1, 1)

Resposta

As coordenadas dos pontos são:
A = (2, 3, 0), B = (0, 2, 0), C = (3, 0, 2)
Os resultados dos produtos vetoriais são:
(u times v) times w = (5, 7, -3)
u times (v times w) = (-1, 1, 1)

Exercícios relacionados