Sejam u=(1,2,-1), v=(-1,1,-1) e w=2 imath-jmath+k são três vetores em base ortonormal E=(imath, jmath, k). Se ponto P=(1,1,1) calcule coordenadas três pontos A= P+u, B=P+v e C=P+w. Usando produto vetorial calcule
c: u times v, u times w e v times w

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos três vetores , e em uma base ortonormal e um ponto . Precisamos calcular as coordenadas dos pontos , e . Depois, vamos usar o produto vetorial para encontrar , e . Para isso, vamos precisar saber como somar vetores e calcular produtos vetoriais.

Passo 2

Vamos calcular as coordenadas do ponto A = P + u = (1, 1, 1) + (1, 2, -1) = (1+1, 1+2, 1+(-1)) = (2, 3, 0) .

Passo 3

Agora, vamos calcular as coordenadas do ponto B = P + v = (1, 1, 1) + (-1, 1, -1) = (1+(-1), 1+1, 1+(-1)) = (0, 2, 0) .

Passo 4

Vamos calcular as coordenadas do ponto C = P + w = (1, 1, 1) + (2, -1, 1) = (1+2, 1+(-1), 1+1) = (3, 0, 2) .

Passo 5

Agora, vamos entender como calcular o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois originais. A fórmula para o produto vetorial a times b = imath & jmath & k ax & ay & az bx & by & bz é dada pelo determinante da seguinte matriz:
Vamos aplicar essa fórmula para calcular os produtos vetoriais solicitados.

Passo 6

Vamos calcular u times v = imath & jmath & k 1 & 2 & -1 -1 & 1 & -1 .
u times v = imath(2 cdot (-1) - (-1) cdot 1) - jmath(1 cdot (-1) - (-1) cdot (-1)) + k(1 cdot 1 - 2 cdot (-1))
Calculando o determinante:
= imath(-2 + 1) - jmath(-1 - 1) + k(1 + 2)
= -imath + 2jmath + 3k
u times v = (-1, 2, 3)
Portanto,

Passo 7

Vamos calcular w = 2imath - jmath + k = (2, -1, 1) .
Primeiro, vamos identificar as componentes de u times w = imath & jmath & k 1 & 2 & -1 2 & -1 & 1 :
u times w = imath(2 cdot 1 - (-1) cdot (-1)) - jmath(1 cdot 1 - (-1) cdot 2) + k(1 cdot (-1) - 2 cdot 2)
Agora, aplicando a fórmula do produto vetorial:
= imath(2 - 1) - jmath(1 - (-2)) + k(-1 - 4)
Calculando o determinante:
= imath(1) - jmath(3) + k(-5)
u times w = (1, -3, -5)
Portanto,

Passo 8

Finalmente, vamos calcular v times w = imath & jmath & k -1 & 1 & -1 2 & -1 & 1 .
v times w = imath(1 cdot 1 - (-1) cdot (-1)) - jmath((-1) cdot 1 - (-1) cdot 2) + k((-1) cdot (-1) - 1 cdot 2)
Calculando o determinante:
= imath(1 - 1) - jmath(-1 - (-2)) + k(1 - 2)
= imath(0) - jmath(1) + k(-1)
v times w = (0, -1, -1)
Portanto,

Resposta

As coordenadas dos pontos são:
A = (2, 3, 0)
B = (0, 2, 0)
C = (3, 0, 2)
E os produtos vetoriais são:
u times v = (-1, 2, 3)
u times w = (1, -3, -5)
v times w = (0, -1, -1)

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