Sejam A=(2,-1,5), B=(1,3,2), C=(6,-1,2) e D=(4,-9,8).
(a) Os pontos A, B, C e D são coplanares?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem quatro pontos no espaço tridimensional: , , e . A pergunta é: esses quatro pontos estão todos no mesmo plano? Para descobrir isso, vamos usar conceitos de vetores e o produto misto, que nos ajuda a verificar se os pontos são coplanares.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um ponto de referência, digamos o ponto AB = B - A = (1 - 2, 3 - (-1), 2 - 5) = (-1, 4, -3) . A ideia é criar três vetores a partir desse ponto para os outros pontos:
  • Vetor AC = C - A = (6 - 2, -1 - (-1), 2 - 5) = (4, 0, -3) que vai de AD = D - A = (4 - 2, -9 - (-1), 8 - 5) = (2, -8, 3) até
  • Vetor que vai de até
  • Vetor que vai de até
Vamos calcular esses vetores subtraindo as coordenadas:

Passo 3

Agora, vamos usar o produto misto desses três vetores. Se o resultado for zero, os pontos são coplanares. O produto misto é calculado assim:
AB cdot (AC times AD)
Primeiro, calculamos o produto vetorial AC times AD = i & j & k 4 & 0 & -3 2 & -8 & 3 = i(0 cdot 3 - (-3) cdot (-8)) - j(4 cdot 3 - (-3) cdot 2) + k(4 cdot (-8) - 0 cdot 2) :
= i(0 - 24) - j(12 - (-6)) + k(-32 - 0)
= -24i - 18j -32k
AB cdot (-24, -18, -32) = (-1)(-24) + 4(-18) + (-3)(-32) = 24 - 72 + 96 = 48
Agora, fazemos o produto escalar com :

Resposta

Como o produto misto não é zero ( ), os pontos e não são coplanares.

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