Verifique que o quadrado de um inteiro qualquer é da forma
ou
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar que o quadrado de qualquer número inteiro pode ser escrito na forma
ou
. Isso está relacionado ao conteúdo de aritmética modular, que ajuda a entender como os números se comportam quando divididos por outro número, nesse caso, 3. Para resolver, vamos precisar analisar todas as possíveis formas que um inteiro pode ter quando dividido por 3 e, em seguida, ver o que acontece quando elevamos esses inteiros ao quadrado.
Passo 2
Primeiro, qualquer número inteiro pode ser escrito de uma das três formas quando dividido por 3:
-
: quando é múltiplo de 3, -
: quando deixa resto 1, -
: quando deixa resto 2.
Aqui,
é um número inteiro.
Passo 3
Vamos agora elevar cada uma dessas formas ao quadrado e ver como fica:
-
Se o número for da forma
: Isso mostra que o quadrado é múltiplo de 3, ou seja,, onde . -
Se o número for da forma
: Aqui, o quadrado fica na forma, onde . -
Se o número for da forma
: Novamente, o quadrado está na forma, onde .
Resposta
Portanto, independentemente de qual forma o número inteiro original tenha (
,
ou
), o quadrado dele sempre será da forma
ou
.
Exercícios relacionados
Na divisão de 477 um inteiro positivo
o resto é 12. Determine os possíveis valores para o divisor
e o quociente
.
Sabendo que a divisão de
por 12 deixa resto 7 , calcule o resto da divisão de cada um dos inteiros abaixos por 12 .
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Sejam
Verifique as propriedades a seguir:
(a) Se e
, então
.
(b) Se e
, então
(a) Se
(b) Se
Sejam
. Mostre que
(a) Se e
, então
.
(b) Se e
então
© Se a
então
.
(d) A afirmação análoga ao item acima com o divisor não é válida, isto é, e
não implica que
. (Encontre um exemplo),
(e) Se são tais que
e
, então
.
(f) então
para todo natural
.
(a) Se
(b) Se
© Se
(d) A afirmação análoga ao item acima com o divisor não é válida, isto é,
(e) Se
(f)