Sejam A, B e C matrizes quadradas. Determine se as seguintes proposições são V ou F, demonstrando quando verdadeiras ou dando um contra-exemplo se falsas.
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma matriz quadrada
e queremos saber se, quando a soma dos elementos na diagonal principal da matriz
é zero, isso implica que
é a matriz nula (ou seja, todos os seus elementos são zero). Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a traça de uma matriz e como calcular
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a traça de uma matriz, denotada por
, é a soma dos elementos na diagonal principal de
. Ou seja, se
, então:
Passo 3
Agora, vamos calcular
. A matriz
é a transposta de
, o que significa que as linhas de
viram colunas e vice-versa. Multiplicando
por
, obtemos uma nova matriz cuja
-ésima entrada é a soma dos produtos dos elementos correspondentes das linhas de
e das colunas de
.
Passo 4
Atraça de
é:
Mas cada
é a soma dos quadrados dos elementos da
-ésima linha de
. Portanto:
Isso significa que a traça de
é a soma dos quadrados de todos os elementos de
.
Passo 5
Se
, então:
Como cada termo
é maior ou igual a zero (já que é um quadrado), a única maneira dessa soma ser zero é se todos os
forem iguais a zero.
Passo 6
Portanto, se
, concluímos que todos os elementos de
são zero, ou seja,
é a matriz nula.
Resposta
Verdadeiro. Se
, então
é a matriz nula.