Sejam A, B e C matrizes quadradas. Determine se as seguintes proposições são V ou F, demonstrando quando verdadeiras ou dando um contra-exemplo se falsas.
g) Se tr(A A^t)=0 então A é a matriz nula ãé

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma matriz quadrada e queremos saber se, quando a soma dos elementos na diagonal principal da matriz é zero, isso implica que é a matriz nula (ou seja, todos os seus elementos são zero). Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a traça de uma matriz e como calcular .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a traça de uma matriz, denotada por tr(M) = sumi mii , é a soma dos elementos na diagonal principal de . Ou seja, se , então:

Passo 3

Agora, vamos calcular . A matriz é a transposta de , o que significa que as linhas de viram colunas e vice-versa. Multiplicando por , obtemos uma nova matriz cuja -ésima entrada é a soma dos produtos dos elementos correspondentes das linhas de e das colunas de .

Passo 4

Atraça de tr(AA^t) = sumi (AA^t)ii é:
tr(AA^t) = sumi sumj aij^2
Mas cada é a soma dos quadrados dos elementos da -ésima linha de . Portanto:
Isso significa que a traça de é a soma dos quadrados de todos os elementos de .

Passo 5

Se sumi sumj aij^2 = 0 , então:
Como cada termo é maior ou igual a zero (já que é um quadrado), a única maneira dessa soma ser zero é se todos os forem iguais a zero.

Passo 6

Portanto, se , concluímos que todos os elementos de são zero, ou seja, é a matriz nula.

Resposta

Verdadeiro. Se , então é a matriz nula.

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