Utilizando operações elementares, calcule a inversa das seguintes matrizes
(ii)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de matriz invertida! A gente precisa encontrar a inversa da matriz usando operações elementares. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde aprendemos como manipular matrizes para encontrar suas inversas quando elas existem.
Passo 2
Primeiro, montamos uma matriz aumentada com e a matriz identidade . A ideia é aplicar operações de linha em para transformá-la na identidade, e essas mesmas operações vão transformar na inversa de .
Passo 3
Vamos usar a primeira linha para zerar os elementos abaixo do primeiro elemento (chamado de pivô). Primeiro, mantemos a primeira linha como está:
Agora, subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha para zerar o elemento (2,1):
Linha2 = Linha2 - 2 Linha1:
Então, a nova segunda linha fica:
Passo 4
Agora, vamos zerar o elemento (-3,1) na terceira linha usando a primeira linha. Para isso, adicionamos 3 vezes a primeira linha à terceira linha:
Linha3 = Linha3 + 3 Linha1:
A matriz atualizada fica:
Passo 5
Agora, vamos escalar a segunda linha para que o pivô (elemento principal) seja 1. Como o elemento (2,2) é -2, dividimos toda a segunda linha por -2:
Linha2 = Linha2 / (-2):
Então, a segunda linha fica:
Passo 6
Agora, vamos escalar a terceira linha para que o pivô (elemento (3,3)) seja 1. Como o elemento é -4, dividimos a terceira linha por -4:
Linha3 = Linha3 / (-4):
A terceira linha atualizada fica:
Passo 7
Agora, vamos limpar os elementos acima do pivô na terceira coluna. Primeiro, vamos ajustar a primeira linha:
Linha1 = Linha1 + 2 Linha3:
A primeira linha fica:
Passo 8
Agora, vamos limpar o elemento (2,3) na segunda linha: