Utilizando operações elementares, calcule a inversa das seguintes matrizes
(ii) B=(ccc1 & 0 & -2 2 & -2 & -2 -3 & 0 & 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de matriz invertida! A gente precisa encontrar a inversa da matriz 1 & 0 & -2 2 & -2 & -2 -3 & 0 & 2 usando operações elementares. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde aprendemos como manipular matrizes para encontrar suas inversas quando elas existem.

Passo 2

Primeiro, montamos uma matriz aumentada com [ccc|ccc 1 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 2 & -2 & -2 & 0 & 1 & 0 -3 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 ] e a matriz identidade . A ideia é aplicar operações de linha em para transformá-la na identidade, e essas mesmas operações vão transformar na inversa de .

Passo 3

Vamos usar a primeira linha para zerar os elementos abaixo do primeiro elemento (chamado de pivô). Primeiro, mantemos a primeira linha como está:
[ccc|ccc 1 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 2 & -2 & -2 & 0 & 1 & 0 -3 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 ]
Agora, subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha para zerar o elemento (2,1):
Linha2 = Linha2 - 2 2 - 2 times 1 = 0 -2 - 2 times 0 = -2 -2 - 2 times (-2) = 2 0 - 2 times 1 = -2 1 - 2 times 0 = 1 0 - 2 times 0 = 0 Linha1:
[ccc|ccc 1 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 0 & -2 & 2 & -2 & 1 & 0 -3 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 ]
Então, a nova segunda linha fica:

Passo 4

Agora, vamos zerar o elemento (-3,1) na terceira linha usando a primeira linha. Para isso, adicionamos 3 vezes a primeira linha à terceira linha:
Linha3 = Linha3 + 3 -3 + 3 times 1 = 0 0 + 3 times 0 = 0 2 + 3 times (-2) = 2 - 6 = -4 0 + 3 times 1 = 3 0 + 3 times 0 = 0 1 + 3 times 0 = 1 Linha1:
[ccc|ccc 1 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 0 & -2 & 2 & -2 & 1 & 0 0 & 0 & -4 & 3 & 0 & 1 ]
A matriz atualizada fica:

Passo 5

Agora, vamos escalar a segunda linha para que o pivô (elemento principal) seja 1. Como o elemento (2,2) é -2, dividimos toda a segunda linha por -2:
Linha2 = Linha2 / (-2):
0 / (-2) = 0 -2 / (-2) = 1 2 / (-2) = -1 -2 / (-2) = 1 1 / (-2) = -0.5 0 / (-2) = 0
Então, a segunda linha fica:
[ccc|ccc 1 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & -1 & 1 & -0.5 & 0 0 & 0 & -4 & 3 & 0 & 1 ]

Passo 6

Agora, vamos escalar a terceira linha para que o pivô (elemento (3,3)) seja 1. Como o elemento é -4, dividimos a terceira linha por -4:
Linha3 = Linha3 / (-4):
0 / (-4) = 0 0 / (-4) = 0 -4 / (-4) = 1 3 / (-4) = -0.75 0 / (-4) = 0 1 / (-4) = -0.25
A terceira linha atualizada fica:
[ccc|ccc 1 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & -1 & 1 & -0.5 & 0 0 & 0 & 1 & -0.75 & 0 & -0.25 ]

Passo 7

Agora, vamos limpar os elementos acima do pivô na terceira coluna. Primeiro, vamos ajustar a primeira linha:
Linha1 = Linha1 + 2 1 + 2 times 0 = 1 0 + 2 times 0 = 0 -2 + 2 times 1 = 0 1 + 2 times (-0.75) = 1 - 1.5 = -0.5 0 + 2 times 0 = 0 0 + 2 times (-0.25) = -0.5 Linha3:
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & -0.5 & 0 & -0.5 0 & 1 & -1 & 1 & -0.5 & 0 0 & 0 & 1 & -0.75 & 0 & -0.25 ]
A primeira linha fica:

Passo 8

Agora, vamos limpar o elemento (2,3) na segunda linha:
Linha2 = Linha2 + 1 0 + 0 times 1 = 0 1 + 0 times 1 = 1 -1 + 1 times 1 = 0 1 + 1 times (-0.75) = 1 - 0.75 = 0.25 -0.5 + 1 times 0 = -0.5 0 + 1 times (-0.25) = -0.25 Linha3:
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & -0.5 & 0 & -0.5 0 & 1 & 0 & 0.25 & -0.5 & -0.25 0 & 0 & 1 & -0.75 & 0 & -0.25 ]
A segunda linha atualizada:

Resposta

Prontinho! A matriz inversa de B^-1 = -0.5 & 0 & -0.5 0.25 & -0.5 & -0.25 -0.75 & 0 & -0.25 é:

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