Sejam S a base canônica de R^2 e B=v1, v2 a base dada por v1= (2,1) e v2=(-3,4). Se T: R^2 R^2, T(x, y)=(2 x+y,-x+y), então:
Encontre a matriz de transição [T]S^B.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem o espaço R^2 com duas bases: a base canônica S e uma base diferente B = v1, v2 onde v1 = (2,1) e v2 = (-3,4). A aplicação linear T está definida por T(x, y) = (2x + y, -x + y). Nosso objetivo é encontrar a matriz de transição [T]S^B.
Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de mudanças de bases e como representar aplicações lineares em diferentes bases. Vamos seguir passo a passo para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a matriz de transição [T]S^B. Essa matriz representa a aplicação T quando consideramos o domínio na base S e o contradomínio na base B. Ou seja, ela nos ajuda a entender como a aplicação T “transita” entre essas bases.
A fórmula para encontrar [T]S^B é:
[T]S^B = PB^-1 cdot [T]S^S cdot PS^B
Onde:
  • PS^B é a matriz de mudança de base de S para B.
  • PB^-1 é a inversa da matriz de mudança de base de S para B.
  • [T]S^S é a matriz da aplicação T na base canônica.
Vamos calcular cada um desses componentes.

Passo 3

Primeiro, vamos construir a matriz de mudança de base PS^B. Essa matriz tem como colunas os vetores da base B expressos na base canônica S. Ou seja:
PS^B = 2 & -3 1 & 4
Isso porque v1 = (2,1) e v2 = (-3,4).

Passo 4

Agora, vamos calcular a inversa de PS^B, que é PB^-1. Para isso, usamos a fórmula da inversa de uma matriz 2x2:
PS^B = a & b c & d Rightarrow (PS^B)^-1 = 1ad - bc d & -b -c & a
Aplicando os valores de PS^B:
ad - bc = (2)(4) - (-3)(1) = 8 + 3 = 11
Então,
PB^-1 = 111 4 & 3 -1 & 2

Passo 5

Em seguida, vamos encontrar a matriz da aplicação T na base canônica, que é [T]S^S. Para isso, aplicamos T nos vetores da base canônica S = e1, e2, onde e1 = (1,0) e e2 = (0,1).
Calculando:
T(e1) = T(1, 0) = (2(1) + 0, -1 + 0) = (2, -1)
T(e2) = T(0, 1) = (2(0) + 1, -0 + 1) = (1, 1)
Então, a matriz [T]S^S é formada por essas imagens:
[T]S^S = 2 & 1 -1 & 1

Passo 6

Agora, vamos multiplicar as matrizes na fórmula [T]S^B = PB^-1 cdot [T]S^S cdot PS^B.
Primeiro, multiplicamos [T]S^S por PS^B:
[T]S^S cdot PS^B = 2 & 1 -1 & 1 cdot 2 & -3 1 & 4 = (2)(2) + (1)(1) & (2)(-3) + (1)(4) (-1)(2) + (1)(1) & (-1)(-3) + (1)(4) = 5 & -2 -1 & 7
Em seguida, multiplicamos PB^-1 pelo resultado acima:
[T]S^B = PB^-1 cdot 5 & -2 -1 & 7 = 111 4 & 3 -1 & 2 cdot 5 & -2 -1 & 7 = 111 (4)(5) + (3)(-1) & (4)(-2) + (3)(7) (-1)(5) + (2)(-1) & (-1)(-2) + (2)(7) = 111 20 - 3 & -8 + 21 -5 - 2 & 2 + 14 = 111 17 & 13 -7 & 16

Resposta

A matriz de transição [T]S^B é:
[T]S^B = 111 17 & 13 -7 & 16

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