Sejam
a base canônica de
e
a base dada por
e
. Se
, então:
Encontre a matriz de transição
.
Encontre a matriz de transição
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem o espaço
com duas bases: a base canônica
e uma base diferente
onde
e
. A aplicação linear
está definida por
. Nosso objetivo é encontrar a matriz de transição
.
Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de mudanças de bases e como representar aplicações lineares em diferentes bases. Vamos seguir passo a passo para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a matriz de transição
. Essa matriz representa a aplicação
quando consideramos o domínio na base
e o contradomínio na base
. Ou seja, ela nos ajuda a entender como a aplicação
“transita” entre essas bases.
A fórmula para encontrar
é:
Onde:
-
é a matriz de mudança de base de para . -
é a inversa da matriz de mudança de base de para . -
é a matriz da aplicação na base canônica.
Vamos calcular cada um desses componentes.
Passo 3
Primeiro, vamos construir a matriz de mudança de base
. Essa matriz tem como colunas os vetores da base
expressos na base canônica
. Ou seja:
Isso porque
e
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a inversa de
, que é
. Para isso, usamos a fórmula da inversa de uma matriz 2x2:
Aplicando os valores de
:
Então,
Passo 5
Em seguida, vamos encontrar a matriz da aplicação
na base canônica, que é
. Para isso, aplicamos
nos vetores da base canônica
, onde
e
.
Calculando:
Então, a matriz
é formada por essas imagens:
Passo 6
Agora, vamos multiplicar as matrizes na fórmula
.
Primeiro, multiplicamos
por
:
Em seguida, multiplicamos
pelo resultado acima:
Resposta
A matriz de transição
é: