Sejam A, B e C pontos distintos e um número real. Seja X o ponto tal que . Exprima em função de

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos três pontos distintos, A, B e C, e um número real . O ponto X é definido de modo que o vetor seja igual a vezes o vetor . Nosso objetivo é expressar o vetor em função dos vetores , e do número .
Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com vetores em relação a pontos no espaço, especificamente usando operações de adição e multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o vetor pode ser escrito em termos dos vetores e o escalar :
Isso significa que o ponto X está localizado na reta que passa por A na direção de B, e a distância entre A e X é vezes a distância entre A e B.

Passo 3

Agora, queremos achar o vetor . Vamos expressar em termos dos vetores que partem de C. Para isso, usamos a relação de vetores que conecta três pontos A, B e C:
Substituindo isso na equação original:

Passo 4

Sabemos que:
Portanto, substituindo :

Passo 5

Agora, vamos isolar :
Distribuindo o :

Passo 6

Simplificando os termos semelhantes:

Resposta

Portanto, o vetor em função de , e é:

Exercícios relacionados

Calcule a norma dos seguintes vetores: ;
Sejam e . Determine vetores unitários paralelos aos vetores:
Verdadeiro ou falso? Se for verdadeiro, justifique. Se for falso, exiba um contra exemplo para mostrar que é falso.
Calcule os seguintes produtos internos: ;