Sejam A, B e C pontos distintos e p um número real. Seja X o ponto tal que A X=p A B. Exprima C X em função de C A, C B, p

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos três pontos distintos, A, B e C, e um número real . O ponto X é definido de modo que o vetor seja igual a vezes o vetor . Nosso objetivo é expressar o vetor em função dos vetores , e do número .
Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com vetores em relação a pontos no espaço, especificamente usando operações de adição e multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o vetor AX = p cdot AB pode ser escrito em termos dos vetores e o escalar :
Isso significa que o ponto X está localizado na reta que passa por A na direção de B, e a distância entre A e X é vezes a distância entre A e B.

Passo 3

Agora, queremos achar o vetor AX = AB = CB - CA . Vamos expressar AX = p cdot (CB - CA) em termos dos vetores que partem de C. Para isso, usamos a relação de vetores que conecta três pontos A, B e C:
Substituindo isso na equação original:

Passo 4

Sabemos que:
AX = CX - CA
Portanto, substituindo CX - CA = p cdot (CB - CA) :

Passo 5

Agora, vamos isolar CX = p cdot (CB - CA) + CA :
CX = p cdot CB - p cdot CA + CA
Distribuindo o :

Passo 6

Simplificando os termos semelhantes:
CX = p cdot CB + (1 - p) cdot CA

Resposta

Portanto, o vetor CX = p cdot CB + (1 - p) cdot CA em função de , e é:

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