Verdadeiro ou falso? Se for verdadeiro, justifique. Se for falso, exiba um contra exemplo para mostrar que é falso. (A+B)^t=A^t+B^t

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: (A+B)^t = A^t + B^t. Aqui estamos lidando com operações envolvendo exponenciação e soma de expressões algébricas. Para resolver isso, precisamos entender como a exponenciação interage com a soma e verificar se essa igualdade sempre se mantém verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a exponenciação não distribui sobre a soma de maneira geral. Em outras palavras, (A+B)^t não costuma ser igual a A^t + B^t. Isso porque, ao elevar uma soma a uma potência, multiplicamos cada termo da soma de forma combinada, criando termos adicionais que não aparecem simplesmente somando as potências individuais.

Passo 3

Para ilustrar por que a igualdade (A+B)^t = A^t + B^t nem sempre é verdadeira, vamos usar um exemplo simples com números reais. Suponha que A = 2, B = 3 e t = 2.
Calculando cada lado da igualdade:
  • Lado esquerdo: (A + B)^t = (2 + 3)^2 = 5^2 = 25
  • Lado direito: A^t + B^t = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13
Como 25 neq 13, vemos que a igualdade não se sustenta nesse caso.

Resposta

Falso. Por exemplo, se A = 2, B = 3 e t = 2, então (A+B)^2 = 25 enquanto A^2 + B^2 = 13, mostrando que (A+B)^t neq A^t + B^t.

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