Sejam e vetores não nulos e ortogonais. Mostre que . Note que este resultado é o famoso Teorema de Pitágoras.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá dois vetores, e , que são diferentes de zero e ortogonais (ou seja, formam um ângulo de 90 graus entre si). A gente precisa mostrar que a soma dos quadrados das magnitudes desses vetores é igual ao quadrado da magnitude do vetor . Isso é basicamente o Teorema de Pitágoras aplicado a vetores. Para resolver, vamos usar conceitos de vetores, como adição, magnitude e produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o vetor . Sabemos que . Isso vem da regra da soma de vetores, onde para ir de B a C, você pode ir de B a A e depois de A a C, mas no sentido contrário para a subtração.
Passo 3
Agora, vamos calcular a magnitude de . A magnitude de um vetor é dada por . Então,
Substituindo , temos:
Passo 4
Expandindo o produto escalar:
Sabemos que porque os vetores são ortogonais. Então, a expressão simplifica para:
Passo 5
Assim, mostramos que:
Isso confirma o Teorema de Pitágoras aplicado aos vetores e , sendo eles ortogonais.
Resposta
Portanto, provamos que , conforme o Teorema de Pitágoras.