Sejam A B e A C vetores não nulos e ortogonais. Mostre que |A B|^2+|A C|^2=|B C|^2. Note que este resultado é o famoso Teorema de Pitágoras.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá dois vetores, AB e AC, que são diferentes de zero e ortogonais (ou seja, formam um ângulo de 90 graus entre si). A gente precisa mostrar que a soma dos quadrados das magnitudes desses vetores é igual ao quadrado da magnitude do vetor BC. Isso é basicamente o Teorema de Pitágoras aplicado a vetores. Para resolver, vamos usar conceitos de vetores, como adição, magnitude e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o vetor BC. Sabemos que BC = AC - AB. Isso vem da regra da soma de vetores, onde para ir de B a C, você pode ir de B a A e depois de A a C, mas no sentido contrário para a subtração.

Passo 3

Agora, vamos calcular a magnitude de BC. A magnitude de um vetor V é dada por |V| = raizV cdot V. Então,
|BC|^2 = BC cdot BC
Substituindo BC = AC - AB, temos:
|BC|^2 = (AC - AB) cdot (AC - AB)

Passo 4

Expandindo o produto escalar:
(AC - AB) cdot (AC - AB) = AC cdot AC - 2 AC cdot AB + AB cdot AB
Sabemos que AC cdot AB = 0 porque os vetores são ortogonais. Então, a expressão simplifica para:
|BC|^2 = |AC|^2 + |AB|^2

Passo 5

Assim, mostramos que:
|AB|^2 + |AC|^2 = |BC|^2
Isso confirma o Teorema de Pitágoras aplicado aos vetores AB e AC, sendo eles ortogonais.

Resposta

Portanto, provamos que |AB|^2 + |AC|^2 = |BC|^2, conforme o Teorema de Pitágoras.

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