Use o produto vetorial e determine as condições que devem satisfazer os vetores a e b para que a+b e a-b sejam paralelos.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos descobrir quais condições os vetores a e b precisam satisfazer para que as combinações a + b e a - b sejam paralelos. Para resolver isso, vamos usar o produto vetorial (também conhecido como produto cruzado), que nos ajuda a determinar se dois vetores são paralelos.

Passo 2

Sabemos que o produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor que é perpendicular a ambos. Além disso, se dois vetores são paralelos, o produto vetorial entre eles é zero. Então, para a + b e a - b serem paralelos, o produto vetorial entre eles deve ser igual a zero.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial:
(a + b) times (a - b)
Usando as propriedades distributivas do produto vetorial, temos:
a times a - a times b + b times a - b times b

Passo 4

Sabemos que o produto vetorial de um vetor com ele mesmo é zero:
a times a = 0 e b times b = 0
Então, simplificando, ficamos com:
- a times b + b times a

Passo 5

Observamos que b times a = - (a times b). Substituindo isso na expressão:
- a times b - a times b = -2 (a times b)

Passo 6

Para que a + b e a - b sejam paralelos, o produto vetorial calculado deve ser zero:
-2 (a times b) = 0
Isso implica que:
a times b = 0

Passo 7

O produto vetorial a times b = 0 se e somente se os vetores a e b são paralelos ou um dos vetores é o vetor nulo. Portanto, as condições são:
  1. a e b são paralelos.
  2. Ou a = 0 ou b = 0.

Resposta

Para que a + b e a - b sejam paralelos, os vetores a e b devem ser paralelos entre si ou um deles deve ser o vetor nulo.

Exercícios relacionados