Use o produto vetorial e determine as condições que devem satisfazer os vetores e para que e sejam paralelos.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos descobrir quais condições os vetores e precisam satisfazer para que as combinações e sejam paralelos. Para resolver isso, vamos usar o produto vetorial (também conhecido como produto cruzado), que nos ajuda a determinar se dois vetores são paralelos.

Passo 2

Sabemos que o produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor que é perpendicular a ambos. Além disso, se dois vetores são paralelos, o produto vetorial entre eles é zero. Então, para e serem paralelos, o produto vetorial entre eles deve ser igual a zero.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial:
Usando as propriedades distributivas do produto vetorial, temos:

Passo 4

Sabemos que o produto vetorial de um vetor com ele mesmo é zero:
Então, simplificando, ficamos com:

Passo 5

Observamos que . Substituindo isso na expressão:

Passo 6

Para que e sejam paralelos, o produto vetorial calculado deve ser zero:
Isso implica que:

Passo 7

O produto vetorial se e somente se os vetores e são paralelos ou um dos vetores é o vetor nulo. Portanto, as condições são:
  1. e são paralelos.
  2. Ou ou .

Resposta

Para que e sejam paralelos, os vetores e devem ser paralelos entre si ou um deles deve ser o vetor nulo.

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