Use o produto vetorial e determine as condições que devem satisfazer os vetores
e
para que
e
sejam paralelos.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos descobrir quais condições os vetores
e
precisam satisfazer para que as combinações
e
sejam paralelos. Para resolver isso, vamos usar o produto vetorial (também conhecido como produto cruzado), que nos ajuda a determinar se dois vetores são paralelos.
Passo 2
Sabemos que o produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor que é perpendicular a ambos. Além disso, se dois vetores são paralelos, o produto vetorial entre eles é zero. Então, para
e
serem paralelos, o produto vetorial entre eles deve ser igual a zero.
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial:
Usando as propriedades distributivas do produto vetorial, temos:
Passo 4
Sabemos que o produto vetorial de um vetor com ele mesmo é zero:
Então, simplificando, ficamos com:
Passo 5
Observamos que
. Substituindo isso na expressão:
Passo 6
Para que
e
sejam paralelos, o produto vetorial calculado deve ser zero:
Isso implica que:
Passo 7
O produto vetorial
se e somente se os vetores
e
são paralelos ou um dos vetores é o vetor nulo. Portanto, as condições são:
-
e são paralelos. - Ou
ou .
Resposta
Para que
e
sejam paralelos, os vetores
e
devem ser paralelos entre si ou um deles deve ser o vetor nulo.