Sejam
conjuntos. Mostre que
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que
. Aqui estamos trabalhando com teoria dos conjuntos, especificamente com produtos cartesianos e operações de união. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o produto cartesiano e a união de conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto cartesiano. Para dois conjuntos
e
, o produto cartesiano
é o conjunto de todos os pares ordenados
onde
e
.
Passo 3
Agora, vamos entender a união de conjuntos. A união
é o conjunto que contém todos os elementos que estão em
, em
ou em ambos.
Passo 4
Vamos começar analisando o lado esquerdo da igualdade:
. Isso significa que estamos formando pares onde o primeiro elemento pode ser de
ou de
, e o segundo elemento é de
.
Passo 5
Então,
.
Passo 6
Isso pode ser expandido usando a definição de união:
Passo 7
Vamos dividir isso em duas partes:
- Quando
e , então . - Quando
e , então .
Passo 8
Portanto, todos os pares
estão ou em
ou em
. Isso significa que:
Passo 9
Agora, vamos mostrar o contrário: que
.
Passo 10
Tome qualquer par
que está em
. Isso significa que
está em
ou em
.
Passo 11
Se
, então
e
. Como
, então
, e
.
Passo 12
Similarmente, se
, então
e
. Como
, então
, e
.
Passo 13
Assim, todos os pares em
também estão em
. Portanto:
Resposta
Como mostramos que
e
, concluímos que
.