Sejam A, B, C, A', B' conjuntos. Mostre que
(A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que . Aqui estamos trabalhando com teoria dos conjuntos, especificamente com produtos cartesianos e operações de união. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o produto cartesiano e a união de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto cartesiano. Para dois conjuntos e , o produto cartesiano é o conjunto de todos os pares ordenados onde e .

Passo 3

Agora, vamos entender a união de conjuntos. A união é o conjunto que contém todos os elementos que estão em , em ou em ambos.

Passo 4

Vamos começar analisando o lado esquerdo da igualdade: . Isso significa que estamos formando pares onde o primeiro elemento pode ser de ou de , e o segundo elemento é de .

Passo 5

Então, .

Passo 6

Isso pode ser expandido usando a definição de união:

Passo 7

Vamos dividir isso em duas partes:
  1. Quando e , então .
  2. Quando e , então .

Passo 8

Portanto, todos os pares estão ou em ou em . Isso significa que:

Passo 9

Agora, vamos mostrar o contrário: que .

Passo 10

Tome qualquer par que está em . Isso significa que está em ou em .

Passo 11

Se , então e . Como , então , e .

Passo 12

Similarmente, se , então e . Como , então , e .

Passo 13

Assim, todos os pares em também estão em . Portanto:

Resposta

Como mostramos que e , concluímos que .

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