Sejam conjuntos. Mostre que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que a união dos conjuntos , e é associativa. Ou seja, queremos provar que . Para resolver isso, vamos usar os conceitos básicos de união de conjuntos e a definição de conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . A união de dois conjuntos, representada pelo símbolo , contém todos os elementos que estão em pelo menos um dos conjuntos. Então, inclui todos os elementos que estão em ou em , e então inclui todos os elementos que estão em , em ou em .

Passo 3

Agora, vamos analisar . Similarmente, contém todos os elementos que estão em ou em , e então inclui todos os elementos que estão em , em ou em .

Passo 4

Para provar que , vamos mostrar que qualquer elemento que está em um lado da igualdade está também no outro lado, e vice-versa.

Passo 5

Primeiro, tomemos um elemento qualquer que está em . Isso significa que está em ou em . Se está em , então certamente está em , e assim está em . Se está em , então está em ou em , o que também coloca em . Portanto, todo em está em .

Passo 6

Segundo, vamos pegar um elemento que está em . Isso significa que está em ou em . Se está em , então está em ou em , o que coloca em . Se está em , então também está em , e assim em . Logo, todo em está em .

Resposta

Concluímos que . A união de conjuntos é, de fato, associativa!

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Calcule as seguintes integrais complexas:
(f) , onde é a circunferência centrada em 0 e raio 2 , com orientação anti-horária;
Resposta:
Sejam conjuntos. Mostre que
Sejam e funções que satisfazem . Se
calcule .
Uma xícara de café quente irá, com o tempo, esfriar até a temperatura ambiente. O princípio da física que rege o processo é a Lei do Resfriamento de Newton. Essa situação pode ser traduzida na seguinte equação diferencial
onde é a temperatura do objeto no tempo e é a temperatura ambiente. Assumindo que a temperatura ambiente é de . Depois de 1 min que o café ficou pronto, a temperatura do café é de . O que você pode dizer sobre a taxa de variação da temperatura do café depois de 1 min ? Use a reta tangente no ponto para fazer uma estimativa da temperatura do café depois de 2 min que ele ficou pronto.