Sejam A=(1,2,-1), B=(-1,1,-1) e C=(2,-1,1) são três pontos em base ortonormal E=(imath, jmath, k) e M, N, P são pontos médios dos lados B C, A C, A B. Usando produto escalar calcule
c: Ângulos A, B, C

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três pontos no espaço: , e . A missão é calcular os ângulos , e usando o produto escalar. Para isso, vamos precisar das noções básicas de vetores e do produto escalar, que nos ajuda a encontrar o ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores que formam os lados do triângulo BA = A - B = (1 - (-1), 2 - 1, -1 - (-1)) = (2, 1, 0) . Ou seja, vamos calcular os vetores CA = A - C = (1 - 2, 2 - (-1), -1 - 1) = (-1, 3, -2) , AB = B - A = (-1 - 1, 1 - 2, -1 - (-1)) = (-2, -1, 0) , CB = B - C = (-1 - 2, 1 - (-1), -1 - 1) = (-3, 2, -2) , AC = C - A = (2 - 1, -1 - 2, 1 - (-1)) = (1, -3, 2) , BC = C - B = (2 - (-1), -1 - 1, 1 - (-1)) = (3, -2, 2) e .
Para calcular, por exemplo, , subtraímos as coordenadas de das de :
Fazemos o mesmo para os outros vetores:

Passo 3

Agora, para encontrar o ângulo u cdot v = |u| cdot |v| cdot cos(theta) no ponto theta = arccos( u cdot v|u| cdot |v| ) , vamos usar o produto escalar entre os vetores e . A fórmula do produto escalar é:
Onde é o ângulo entre os vetores. Podemos rearranjar para encontrar :

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar BA cdot CA = (2)(-1) + (1)(3) + (0)(-2) = -2 + 3 + 0 = 1 :

Passo 5

Agora, calculamos as magnitudes (tamanhos) dos vetores |BA| = raiz2^2 + 1^2 + 0^2 = raiz4 + 1 + 0 = raiz5 e |CA| = raiz(-1)^2 + 3^2 + (-2)^2 = raiz1 + 9 + 4 = raiz14 :

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula para encontrar o ângulo cos(A) = BA cdot CA|BA| cdot |CA| = 1raiz5 cdot raiz14 = 1raiz70 :
A = arccos( 1raiz70 ) approx 81,87^circ

Passo 7

Para encontrar o ângulo AB cdot CB = (-2)(-3) + (-1)(2) + (0)(-2) = 6 - 2 + 0 = 4 no ponto , fazemos o mesmo processo com os vetores e .
Primeiro, calculamos o produto escalar:

Passo 8

Calculamos as magnitudes dos vetores |AB| = raiz(-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz4 + 1 + 0 = raiz5 e |CB| = raiz(-3)^2 + 2^2 + (-2)^2 = raiz9 + 4 + 4 = raiz17 :

Passo 9

Aplicamos a fórmula para encontrar o ângulo cos(B) = AB cdot CB|AB| cdot |CB| = 4raiz5 cdot raiz17 = 4raiz85 :
B = arccos( 4raiz85 ) approx 63,44^circ

Passo 10

Finalmente, para o ângulo AC cdot BC = (1)(3) + (-3)(-2) + 2(2) = 3 + 6 + 4 = 13 no ponto , usamos os vetores e .
Calculamos o produto escalar:

Passo 11

Calculamos as magnitudes dos vetores |AC| = raiz1^2 + (-3)^2 + 2^2 = raiz1 + 9 + 4 = raiz14 e |BC| = raiz3^2 + (-2)^2 + 2^2 = raiz9 + 4 + 4 = raiz17 :

Passo 12

Aplicamos a fórmula para encontrar o ângulo cos(C) = AC cdot BC|AC| cdot |BC| = 13raiz14 cdot raiz17 = 13raiz238 :
C = arccos( 13raiz238 ) approx 22,89^circ

Resposta

Os ângulos calculados são:
A approx 81,87^circ, B approx 63,44^circ, C approx 22,89^circ

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