Sejam
e
são três pontos em base ortonormal
e
são pontos médios dos lados
. Usando produto escalar calcule
c: Ângulos
c: Ângulos
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três pontos no espaço:
,
e
. A missão é calcular os ângulos
,
e
usando o produto escalar. Para isso, vamos precisar das noções básicas de vetores e do produto escalar, que nos ajuda a encontrar o ângulo entre dois vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vetores que formam os lados do triângulo
. Ou seja, vamos calcular os vetores
,
,
,
,
e
.
Para calcular, por exemplo,
, subtraímos as coordenadas de
das de
:
Fazemos o mesmo para os outros vetores:
Passo 3
Agora, para encontrar o ângulo
no ponto
, vamos usar o produto escalar entre os vetores
e
. A fórmula do produto escalar é:
Onde
é o ângulo entre os vetores. Podemos rearranjar para encontrar
:
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 5
Agora, calculamos as magnitudes (tamanhos) dos vetores
e
:
Passo 6
Agora, aplicamos a fórmula para encontrar o ângulo
:
Passo 7
Para encontrar o ângulo
no ponto
, fazemos o mesmo processo com os vetores
e
.
Primeiro, calculamos o produto escalar:
Passo 8
Calculamos as magnitudes dos vetores
e
:
Passo 9
Aplicamos a fórmula para encontrar o ângulo
:
Passo 10
Finalmente, para o ângulo
no ponto
, usamos os vetores
e
.
Calculamos o produto escalar:
Passo 11
Calculamos as magnitudes dos vetores
e
:
Passo 12
Aplicamos a fórmula para encontrar o ângulo
:
Resposta
Os ângulos calculados são: