Sejam u=(1,2,-1), v=(-1,1,-1) e w=2 imath-jmath+k são três vetores em base ortonormal E=(imath, jmath, k). Se ponto P=(1,1,1) calcule coordenadas três pontos A= P+u, B=P+v e C=P+w. Usando produto vetorial calcule
a: Areá de triangulo A B C

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três vetores u, v e w, e um ponto P. A tarefa é encontrar os pontos A, B e C adicionando esses vetores ao ponto P. Depois, vamos calcular a área do triângulo formado por esses três pontos usando produto vetorial. Para isso, vamos precisar saber como somar vetores, calcular o produto vetorial e a magnitude de um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos A, B e C. Para isso, somamos cada vetor ao ponto P=(1,1,1).
A = P + u = (1,1,1) + (1,2,-1) = (1+1,, 1+2,, 1+(-1)) = (2,, 3,, 0)
B = P + v = (1,1,1) + (-1,1,-1) = (1+(-1),, 1+1,, 1+(-1)) = (0,, 2,, 0)
C = P + w = (1,1,1) + (2,-1,1) = (1+2,, 1+(-1),, 1+1) = (3,, 0,, 2)

Passo 3

Agora que temos os pontos A=(2,3,0), B=(0,2,0) e C=(3,0,2), vamos encontrar os vetores que formam os lados do triângulo. Vamos calcular os vetores AB e AC.
AB = B - A = (0-2,; 2-3,; 0-0) = (-2,; -1,; 0)
AC = C - A = (3-2,; 0-3,; 2-0) = (1,; -3,; 2)

Passo 4

Para encontrar a área do triângulo, usamos o produto vetorial dos vetores AB e AC. O produto vetorial resulta em um vetor perpendicular ao plano dos dois vetores e sua magnitude corresponde à área do paralelogramo formado por AB e AC. A área do triângulo será metade disso.
Primeiro, calculamos o produto vetorial AB times AC:
AB times AC = imath & jmath & k -2 & -1 & 0 1 & -3 & 2 = imath cdot (-1 cdot 2 - 0 cdot (-3)) - jmath cdot (-2 cdot 2 - 0 cdot 1) + k cdot (-2 cdot (-3) - (-1) cdot 1)
Simplificando:
AB times AC = imath cdot (-2) - jmath cdot (-4) + k cdot (6 + 1) = (-2)imath + 4jmath + 7k

Passo 5

Agora, vamos calcular a magnitude desse vetor resultante para encontrar a área do paralelogramo:
|AB times AC| = raiz(-2)^2 + 4^2 + 7^2 = raiz4 + 16 + 49 = raiz69
Como a área do triângulo é metade da área do paralelogramo, temos:
Área do triângulo ABC = 12 raiz69 Áâ

Resposta

A área do triângulo ABC é 12 raiz69 unidades de área.

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