(UFCE) Sejam M e N conjuntos que possuem um único elemento em comum. Se o número de subconjuntos de M é igual ao dobro do número de subconjuntos de N , o número de elementos do conjunto é:
a) O triplo do número de elementos de M .
b) O triplo do número de elementos de N .
c) O quádruplo do número de elementos de M.
d) O dobro do número de elementos de M.
e) O dobro do número de elementos de N .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre conjuntos M e N que têm apenas um elemento em comum. A gente precisa usar o conceito de subconjuntos e entender como o número de elementos desses conjuntos se relaciona. Vamos precisar saber como calcular o número de subconjuntos de um conjunto e usar essa informação para descobrir quantos elementos tem na união dos conjuntos M e N.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o número de subconjuntos de um conjunto com elementos é . Isso porque para cada elemento, podemos escolher incluir ou não no subconjunto, daí as duas opções por elemento.
Passo 3
Segundo, a questão nos diz que o número de subconjuntos de M é o dobro do número de subconjuntos de N. Vamos chamar o número de elementos de M de e o de N de . Então temos:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação. Podemos reescrever o lado direito:
Como as potências de 2 são iguais, os expoentes devem ser iguais:
Isso significa que M tem um elemento a mais que N.
Passo 5
Sabemos também que M e N têm apenas um elemento em comum. Para encontrar o número de elementos na união , usamos a fórmula:
Sabendo que , e , substituímos:
Passo 6
Substituindo na equação acima:
Então, o número de elementos na união de M e N é , que é o dobro do número de elementos de N.