Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto .
(b) , sendo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função , definida por partes, é diferenciável no ponto . Estamos trabalhando com cálculo, especificamente com o conceito de derivadas e diferenciabilidade de funções definidas por partes. Para resolver isso, vamos precisar verificar se a função é contínua em e se as derivadas à esquerda e à direita desse ponto são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se a função é contínua no ponto . Isso é importante porque, para ser diferenciável, a função precisa, obrigatoriamente, ser contínua nesse ponto.
Para , . Então, o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda é:
Para , . Então, o limite quando se aproxima de 1 pela direita é:
E, claro, . Como os limites laterais e o valor da função no ponto são iguais, a função é contínua em .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada pela esquerda do ponto . Isso significa derivar a função .
A derivada de é:
Avaliando em :

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a derivada pela direita do ponto . Aqui, derivamos a função .
A derivada de é:

Passo 5

Por último, vamos comparar as duas derivadas que calculamos. Se elas forem iguais, a função é diferenciável em .
Temos:
Como , as derivadas à esquerda e à direita são diferentes.

Resposta

A função não é diferenciável no ponto .

Exercícios relacionados

Sabendo que , , obtenha .
Sejam e conjuntos abertos. Mostre que o conjunto
é um conjunto aberto.
Calcular nos seguintes casos:
(a)
Calcule os limites abaixo se existivem. Caso contrário justifique sua resposta.