Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto
.
(b)
, sendo
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função
, definida por partes, é diferenciável no ponto
. Estamos trabalhando com cálculo, especificamente com o conceito de derivadas e diferenciabilidade de funções definidas por partes. Para resolver isso, vamos precisar verificar se a função é contínua em
e se as derivadas à esquerda e à direita desse ponto são iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se a função
é contínua no ponto
. Isso é importante porque, para ser diferenciável, a função precisa, obrigatoriamente, ser contínua nesse ponto.
Para
,
. Então, o limite quando
se aproxima de 1 pela esquerda é:
Para
,
. Então, o limite quando
se aproxima de 1 pela direita é:
E, claro,
. Como os limites laterais e o valor da função no ponto são iguais, a função é contínua em
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada pela esquerda do ponto
. Isso significa derivar a função
.
A derivada de
é:
Avaliando em
:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a derivada pela direita do ponto
. Aqui, derivamos a função
.
A derivada de
é:
Passo 5
Por último, vamos comparar as duas derivadas que calculamos. Se elas forem iguais, a função é diferenciável em
.
Temos:
Como
, as derivadas à esquerda e à direita são diferentes.
Resposta
A função
não é diferenciável no ponto
.
Exercícios relacionados
Sabendo que
,
, obtenha
.
Sejam
e
conjuntos abertos. Mostre que o conjunto
é um conjunto aberto.
Calcular
nos seguintes casos:
(a)
(a)
Calcule os limites abaixo se existivem. Caso contrário justifique sua resposta.