Sejam
e
dois conjuntos não vazios. Dê um exemplo de função sobrejetora que não é injetora.
Passo 1
No enunciado, temos dois conjuntos não vazios,
e
. A questão pede para dar um exemplo de uma função que seja sobrejetora, ou seja, que cubra todo o conjunto
, mas que não seja injetora, o que significa que pelo menos dois elementos de
são mapeados para o mesmo elemento de
. Para resolver isso, vamos lembrar das definições de funções sobrejetoras e injetoras e construir um exemplo que atenda a essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher os conjuntos
e
. Vamos optar por conjuntos simples para facilitar o entendimento. Por exemplo, seja
e
.
Passo 3
Agora, precisamos definir uma função
que seja sobrejetora. Isso significa que todos os elementos de
devem ser atingidos por
. Vamos tentar a seguinte definição:
Passo 4
Vamos verificar se essa função é sobrejetora. Olhando para a imagem de
, temos
, que é exatamente o conjunto
. Portanto,
é uma função sobrejetora.
Passo 5
Agora, vamos verificar se
é injetora. Para ser injetora, cada elemento de
deve ser mapeado para um elemento único em
. Porém, aqui vemos que tanto
quanto
são mapeados para
. Portanto,
não é injetora.
Resposta
Um exemplo de função sobrejetora que não é injetora é:
definida por