Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Dê um exemplo de função sobrejetora que não é injetora.

Passo 1

No enunciado, temos dois conjuntos não vazios, e . A questão pede para dar um exemplo de uma função que seja sobrejetora, ou seja, que cubra todo o conjunto , mas que não seja injetora, o que significa que pelo menos dois elementos de são mapeados para o mesmo elemento de . Para resolver isso, vamos lembrar das definições de funções sobrejetoras e injetoras e construir um exemplo que atenda a essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher os conjuntos e . Vamos optar por conjuntos simples para facilitar o entendimento. Por exemplo, seja e .

Passo 3

Agora, precisamos definir uma função que seja sobrejetora. Isso significa que todos os elementos de devem ser atingidos por . Vamos tentar a seguinte definição:

Passo 4

Vamos verificar se essa função é sobrejetora. Olhando para a imagem de , temos , que é exatamente o conjunto . Portanto, é uma função sobrejetora.

Passo 5

Agora, vamos verificar se é injetora. Para ser injetora, cada elemento de deve ser mapeado para um elemento único em . Porém, aqui vemos que tanto quanto são mapeados para . Portanto, não é injetora.

Resposta

Um exemplo de função sobrejetora que não é injetora é:
definida por

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