Sejam a e b elementos de um anel. Mostre que são equivalentes as afirmações:
i) a divide b.
ii) Todo associado de a divide todo associado de b.
iii) Existe um associado de a que divide um associado de b.
i) a divide b.
ii) Todo associado de a divide todo associado de b.
iii) Existe um associado de a que divide um associado de b.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que três afirmações sobre divisibilidade em um anel são equivalentes. Basicamente, temos três formas de dizer que um elemento
divide outro elemento
no contexto de um anel, e precisamos provar que essas três formas são, na verdade, a mesma coisa. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um elemento dividir outro em um anel e também o que são associados dentro de um anel.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa que
divide
em um anel. Dizemos que
divide
(escrevemos
) se existe um elemento
no anel tal que
. Isso é similar ao conceito de divisibilidade que conhecemos nos números inteiros.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre associados. Em um anel, dois elementos
e
são chamados de associados se existe uma unidade
(ou seja, um elemento invertível no anel) tal que
. Isso significa que eles são equivalentes até multiplicação por uma unidade.
Passo 4
Vamos analisar a afirmação (i)
. Como vimos, isso significa que existe um
tal que
.
Passo 5
Agora, a afirmação (ii) diz que todo associado de
divide todo associado de
. Seja
um associado de
, então
para alguma unidade
. Similarmente, se
é um associado de
, então
para alguma unidade
.
Passo 6
Queremos mostrar que
. Substituindo, temos
. Mas
, então podemos reescrever
. Como
é uma unidade,
existe, e assim
divide
.
Passo 7
A afirmação (iii) diz que existe um associado de
que divide um associado de
. Ou seja, existe
e
tais que
.
Passo 8
Para mostrar que (i), (ii) e (iii) são equivalentes, vamos ver que (i) implica (ii), (ii) implica (iii) e (iii) implica (i).
- (i) implica (ii): Já vimos no Passo 6 que se
, então todo associado de divide todo associado de . - (ii) implica (iii): Se todo associado de
divide todo associado de , então certamente existe pelo menos um associado de que divide algum associado de . - (iii) implica (i): Se existe algum associado
de que divide algum associado de , então . Mas e , então , o que implica que já que e são unidades.
Resposta
Assim, provamos que as afirmações (i), (ii) e (iii) são equivalentes no contexto de um anel. Ou seja, dizer que
divide
é a mesma coisa que dizer que todo associado de
divide todo associado de
, e também é equivalente a afirmar que existe um associado de
que divide um associado de
.