Verifique se o conjunto V com as operações indicadas é um espaço vetorial sobre R.
V=(x, y) in R times R^*, onde R^*=R backslash0, com as seguintes operações:
(x1, y1)+(x2, y2) & =(x1+x2, y1 y2) alpha(x, y) & =(alpha x, y^alpha)

Passo 1

Então, a gente tem um conjunto (x1, y1) + (x2, y2) &= (x1 + x2, y1 y2) alpha (x, y) &= (alpha x, y^alpha) composto por pares ordenados , onde é qualquer número real e é um número real diferente de zero. As operações definidas são uma soma e uma multiplicação por escalar:
O objetivo é verificar se com essas operações forma um espaço vetorial sobre os reais . Para isso, precisamos checar se todas as axiomas de espaços vetoriais são satisfeitas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para ser um espaço vetorial, o conjunto precisa satisfazer vários axiomas, como existência de identidade para a soma, existência de inversos, associatividade, comutatividade da soma, distributividade da multiplicação por escalar, entre outros.
Vamos começar verificando se existe um elemento neutro para a soma em .

Passo 3

Axioma da identidade aditiva: Deve existir um elemento (x, y) + (0, e) = (x + 0, y cdot e) = (x, y) em tal que para qualquer :
Isso implica que . Então, o elemento neutro seria . Como , esse elemento pertence a . Assim, o axioma da identidade aditiva está satisfeito.

Passo 4

Axioma dos inversos aditivos: Para cada (x, y) + (-x, y^-1) = (x - x, y cdot y^-1) = (0, 1) , deve existir um elemento em tal que:
Como é diferente de zero, também pertence a . Portanto, os inversos aditivos existem e pertencem a .

Passo 5

Axioma da comutatividade da soma: A soma definida é (x1 + x2, y1 y2) = (x2 + x1, y2 y1) . Como a adição de números reais é comutativa e a multiplicação de números reais também é comutativa, a soma em é comutativa.
Portanto, esse axioma está satisfeito.

Passo 6

Axioma da associatividade da soma: Vamos verificar se:
[(x1, y1) + (x2, y2)] + (x3, y3) = (x1, y1) + [(x2, y2) + (x3, y3)]
Calculando os dois lados:
Esquerda:
(x1 + x2, y1 y2) + (x3, y3) = (x1 + x2 + x3, (y1 y2) y3)
Direita:
(x1, y1) + (x2 + x3, y2 y3) = (x1 + x2 + x3, y1 (y2 y3))
Como a multiplicação é associativa, temos:
(y1 y2) y3 = y1 (y2 y3)
Logo, o axioma da associatividade da soma também é satisfeito.

Passo 7

Axioma da multiplicação por escalar (distributividade em relação à soma de vetores): Vamos verificar se:
alpha [(x1, y1) + (x2, y2)] = alpha (x1, y1) + alpha (x2, y2)
Calculando os dois lados:
Esquerda:
alpha (x1 + x2, y1 y2) = (alpha (x1 + x2), (y1 y2)^alpha) = (alpha x1 + alpha x2, y1^alpha y2^alpha)
Direita:
alpha (x1, y1) + alpha (x2, y2) = (alpha x1, y1^alpha) + (alpha x2, y2^alpha) = (alpha x1 + alpha x2, y1^alpha y2^alpha)
Ambos os lados são iguais, então esse axioma está satisfeito.

Passo 8

Axioma da multiplicação por escalar (distributividade em relação à soma de escalares): Verificar se:
(alpha + beta) (x, y) = alpha (x, y) + beta (x, y)
Calculando os dois lados:
Esquerda:
(alpha + beta) (x, y) = ((alpha + beta) x, y^alpha + beta)
Direita:
alpha (x, y) + beta (x, y) = (alpha x, y^alpha) + (beta x, y^beta) = (alpha x + beta x, y^alpha y^beta) = ((alpha + beta) x, y^alpha + beta)
Ambos os lados são iguais, então esse axioma está satisfeito.

Passo 9

Axioma da multiplicação por escalar (associatividade da multiplicação): Verificar se:
alpha (beta (x, y)) = (alpha beta) (x, y)
Calculando os dois lados:
Esquerda:
alpha (beta (x, y)) = alpha (beta x, y^beta) = (alpha (beta x), (y^beta)^alpha) = (alpha beta x, y^alpha beta)
Direita:
(alpha beta) (x, y) = ((alpha beta) x, y^alpha beta)
Ambos os lados são iguais, então esse axioma está satisfeito.

Passo 10

Axioma da multiplicação por escalar (elemento neutro): Verificar se:
1 (x, y) = (x, y)
Calculando:
1 (x, y) = (1 cdot x, y^1) = (x, y)
Portanto, o axioma do elemento neutro para a multiplicação por escalar está satisfeito.

Passo 11

Axioma da multiplicação por escalar (compatibilidade com o escalar identidade): Verificar se:
1 cdot (x, y) = (x, y)
Já vimos no passo anterior que isso é verdade:
1 cdot (x, y) = (1 cdot x, y^1) = (x, y)
Então, esse axioma também está satisfeito.

Passo 12

Apesar de todos os axiomas terem sido verificados e parecerem estar satisfeitos, precisamos analisar se todas as operações estão bem definidas e se mantêm os elementos dentro de .
Note que na multiplicação por escalar, a componente é elevada a . Se for um número real e for negativo, pode não estar definido dentro dos números reais (dependendo do valor de ). Por exemplo, se e , não está definido nos reais.
Isso significa que nem sempre a multiplicação por escalar mantém o elemento dentro de , o que viola um dos axiomas fundamentais dos espaços vetoriais.

Resposta

Não, o conjunto com as operações definidas não é um espaço vetorial sobre , pois a multiplicação por escalar pode não manter os elementos dentro de .

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