Verifique se o conjunto
com as operações indicadas é um espaço vetorial sobre
.
, onde
, com as seguintes operações:
Passo 1
Então, a gente tem um conjunto
composto por pares ordenados
, onde
é qualquer número real e
é um número real diferente de zero. As operações definidas são uma soma e uma multiplicação por escalar:
O objetivo é verificar se
com essas operações forma um espaço vetorial sobre os reais
. Para isso, precisamos checar se todas as axiomas de espaços vetoriais são satisfeitas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para ser um espaço vetorial, o conjunto
precisa satisfazer vários axiomas, como existência de identidade para a soma, existência de inversos, associatividade, comutatividade da soma, distributividade da multiplicação por escalar, entre outros.
Vamos começar verificando se existe um elemento neutro para a soma em
.
Passo 3
Axioma da identidade aditiva: Deve existir um elemento
em
tal que para qualquer
:
Isso implica que
. Então, o elemento neutro seria
. Como
, esse elemento pertence a
. Assim, o axioma da identidade aditiva está satisfeito.
Passo 4
Axioma dos inversos aditivos: Para cada
, deve existir um elemento
em
tal que:
Como
é diferente de zero,
também pertence a
. Portanto, os inversos aditivos existem e pertencem a
.
Passo 5
Axioma da comutatividade da soma: A soma definida é
. Como a adição de números reais é comutativa e a multiplicação de números reais também é comutativa, a soma em
é comutativa.
Portanto, esse axioma está satisfeito.
Passo 6
Axioma da associatividade da soma: Vamos verificar se:
Calculando os dois lados:
Esquerda:
Direita:
Como a multiplicação é associativa, temos:
Logo, o axioma da associatividade da soma também é satisfeito.
Passo 7
Axioma da multiplicação por escalar (distributividade em relação à soma de vetores): Vamos verificar se:
Calculando os dois lados:
Esquerda:
Direita:
Ambos os lados são iguais, então esse axioma está satisfeito.
Passo 8
Axioma da multiplicação por escalar (distributividade em relação à soma de escalares): Verificar se:
Calculando os dois lados:
Esquerda:
Direita:
Ambos os lados são iguais, então esse axioma está satisfeito.
Passo 9
Axioma da multiplicação por escalar (associatividade da multiplicação): Verificar se:
Calculando os dois lados:
Esquerda:
Direita:
Ambos os lados são iguais, então esse axioma está satisfeito.
Passo 10
Axioma da multiplicação por escalar (elemento neutro): Verificar se:
Calculando:
Portanto, o axioma do elemento neutro para a multiplicação por escalar está satisfeito.
Passo 11
Axioma da multiplicação por escalar (compatibilidade com o escalar identidade): Verificar se:
Já vimos no passo anterior que isso é verdade:
Então, esse axioma também está satisfeito.
Passo 12
Apesar de todos os axiomas terem sido verificados e parecerem estar satisfeitos, precisamos analisar se todas as operações estão bem definidas e se mantêm os elementos dentro de
.
Note que na multiplicação por escalar, a componente
é elevada a
. Se
for um número real e
for negativo,
pode não estar definido dentro dos números reais (dependendo do valor de
). Por exemplo, se
e
,
não está definido nos reais.
Isso significa que nem sempre a multiplicação por escalar mantém o elemento dentro de
, o que viola um dos axiomas fundamentais dos espaços vetoriais.
Resposta
Não, o conjunto
com as operações definidas não é um espaço vetorial sobre
, pois a multiplicação por escalar pode não manter os elementos dentro de
.