Sejam e matrizes . Mostre que é uma matriz simétrica

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai resolver um exercício de matrizes, que faz parte da álgebra linear. O enunciado pede para mostrar que o produto de uma matriz pela sua transposta resulta em uma matriz simétrica. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser simétrica e como funciona a transposição de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz transposta. Se a gente tem uma matriz , a sua transposta é obtida trocando as linhas pelas colunas. Ou seja, o elemento que estava na posição em vai para a posição em .

Passo 3

Agora, uma matriz é chamada de simétrica se ela é igual à sua transposta. Ou seja, uma matriz é simétrica se .

Passo 4

Então, para mostrar que é simétrica, a gente precisa provar que .

Passo 5

Vamos calcular a transposta de . Uma propriedade importante das transpostas é que a transposta do produto de duas matrizes é igual ao produto das transpostas na ordem invertida. Matemáticamente, isso é:

Passo 6

Aplicando essa propriedade ao nosso caso:

Passo 7

Sabemos que a transposta da transposta de uma matriz é a própria matriz, ou seja, . Então:

Resposta

Portanto, mostramos que , o que significa que é uma matriz simétrica.

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