Sejam
e
matrizes
. Mostre que
é uma matriz simétrica
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai resolver um exercício de matrizes, que faz parte da álgebra linear. O enunciado pede para mostrar que o produto de uma matriz
pela sua transposta
resulta em uma matriz simétrica. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser simétrica e como funciona a transposição de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz transposta. Se a gente tem uma matriz
, a sua transposta
é obtida trocando as linhas pelas colunas. Ou seja, o elemento que estava na posição
em
vai para a posição
em
.
Passo 3
Agora, uma matriz é chamada de simétrica se ela é igual à sua transposta. Ou seja, uma matriz
é simétrica se
.
Passo 4
Então, para mostrar que
é simétrica, a gente precisa provar que
.
Passo 5
Vamos calcular a transposta de
. Uma propriedade importante das transpostas é que a transposta do produto de duas matrizes é igual ao produto das transpostas na ordem invertida. Matemáticamente, isso é:
Passo 6
Aplicando essa propriedade ao nosso caso:
Passo 7
Sabemos que a transposta da transposta de uma matriz é a própria matriz, ou seja,
. Então:
Resposta
Portanto, mostramos que
, o que significa que
é uma matriz simétrica.
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