Sejam A e B matrizes n times n. Mostre que (A^2)^t=(A^t)^2

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes quadradas e de ordem . O objetivo é mostrar que a transposta do quadrado de , ou seja, , é igual ao quadrado da transposta de , que é .
Para resolver isso, vamos precisar entender:
  • Transposta de uma matriz: A transposta de uma matriz , denotada por , é obtida trocando suas linhas por colunas.
  • Propriedades da transposta: Sabemos que , onde e são matrizes compatíveis para multiplicação.

Passo 2

Vamos começar calculando (A^2)^t = (A cdot A)^t . Por definição, . Então:

Passo 3

Aplicando a propriedade da transposta de um produto de matrizes, que diz que (A cdot A)^t = A^t cdot A^t , temos:

Passo 4

Observamos que A^t cdot A^t = (A^t)^2 é exatamente o quadrado da transposta de :

Resposta

Portanto, mostramos que:
(A^2)^t = (A^t)^2

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