Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n >= 2. Determine se as seguintes proposições são V ou F, justificando sua resposta.
(e) Se B é invertível então det(B^-1 A B)=det A

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes quadradas e de ordem . A proposição a ser avaliada é: "Se é invertível então ". O conteúdo envolvido aqui são determinantes de matrizes e propriedades de matrizes invertíveis. Para resolver, vamos precisar usar as propriedades dos determinantes em relação à multiplicação de matrizes e à inversa de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade fundamental dos determinantes: se det(UV) = det(U) cdot det(V) e são matrizes quadradas de mesma ordem, então
Essa propriedade nos permite calcular o determinante de um produto de matrizes como o produto dos determinantes das matrizes individuais.

Passo 3

Agora, consideremos a expressão det(B^-1 A B) = det(B^-1) cdot det(A) cdot det(B) . Aplicando a propriedade dos determinantes para o produto de três matrizes, temos:

Passo 4

Sabemos que det(B^-1) = 1det(B) é invertível, o que significa que . Além disso, a determinante da matriz inversa é o inverso da determinante da matriz original:

Passo 5

Substituindo det(B^-1 A B) = (1det(B)) cdot det(A) cdot det(B) na expressão anterior, temos:

Passo 6

Simplificando a expressão:
det(B^-1 A B) = det(A) cdot det(B)det(B) = det(A)
Os termos se cancelam, restando apenas .

Resposta

Verdadeiro. Se é invertível, então .

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