Sejam
e
matrizes quadradas de ordem
. Determine se as seguintes proposições são V ou F, justificando sua resposta.
(e) Se
é invertível então
(e) Se
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes quadradas
e
de ordem
. A proposição a ser avaliada é: "Se
é invertível então
". O conteúdo envolvido aqui são determinantes de matrizes e propriedades de matrizes invertíveis. Para resolver, vamos precisar usar as propriedades dos determinantes em relação à multiplicação de matrizes e à inversa de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade fundamental dos determinantes: se
e
são matrizes quadradas de mesma ordem, então
Essa propriedade nos permite calcular o determinante de um produto de matrizes como o produto dos determinantes das matrizes individuais.
Passo 3
Agora, consideremos a expressão
. Aplicando a propriedade dos determinantes para o produto de três matrizes, temos:
Passo 4
Sabemos que
é invertível, o que significa que
. Além disso, a determinante da matriz inversa é o inverso da determinante da matriz original:
Passo 5
Substituindo
na expressão anterior, temos:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Os termos
se cancelam, restando apenas
.
Resposta
Verdadeiro. Se
é invertível, então
.