Sejam
e
matrizes quadradas de ordem
. Verifique se as colocações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique.
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes quadradas,
e
, de ordem
(ou seja, cada uma tem
linhas e
colunas). A afirmação para verificar é se o determinante de
é menor que o determinante de
, ou seja, se
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que representa
e como o determinante de uma matriz muda quando removemos uma linha e uma coluna.
Passo 2
Vamos começar definindo o que é
. A notação
geralmente refere-se a uma submatriz de
obtida removendo a
-ésima linha e a
-ésima coluna de
. Essa submatriz é chamada de menor ou co-menor de
. Por exemplo, se
for uma matriz 3x3, ao remover a segunda linha e a primeira coluna, obteremos uma matriz 2x2 que é
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar do que é o determinante de uma matriz. O determinante é um número que podemos calcular a partir de uma matriz quadrada e que tem várias propriedades importantes, como determinar se a matriz é invertível (se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível).
Passo 4
Uma propriedade importante dos determinantes é que o determinante de uma matriz de ordem menor (como
) não tem uma relação direta simples com o determinante da matriz original
. Ou seja, remover uma linha e uma coluna não necessariamente fará com que o determinante diminua.
Passo 5
Vamos considerar um exemplo simples para ilustrar isso. Suponha que
seja uma matriz 2x2:
O determinante de
é
.
Agora, se retirarmos, por exemplo, a primeira linha e a primeira coluna para formar
, teremos:
O determinante de
é simplesmente
.
Comparando
com
, não podemos afirmar que
sempre. Depende dos valores específicos de
.
Passo 6
Como o exemplo mostra, não há uma regra geral que garanta que
. O determinante da submatriz pode ser maior, menor ou igual ao determinante da matriz original, dependendo dos elementos específicos da matriz.
Resposta
A afirmação
é falsa. Não existe uma regra geral que determine essa relação para todos os casos de matrizes quadradas.
Exercícios relacionados
(UFF) Sendo
a unidade imaginária, para que
, seja um número real, é necessário que
seja igual a:
Dados:
e
, calcule:
.
(UFF) Se
, o valor do módulo do quociente entre z e o seu conjugado é:
Calcule
onde