Sejam e matrizes quadradas de ordem . Verifique se as colocações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique. .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes quadradas, e , de ordem (ou seja, cada uma tem linhas e colunas). A afirmação para verificar é se o determinante de é menor que o determinante de , ou seja, se . Para resolver isso, vamos precisar entender o que representa e como o determinante de uma matriz muda quando removemos uma linha e uma coluna.

Passo 2

Vamos começar definindo o que é . A notação geralmente refere-se a uma submatriz de obtida removendo a -ésima linha e a -ésima coluna de . Essa submatriz é chamada de menor ou co-menor de . Por exemplo, se for uma matriz 3x3, ao remover a segunda linha e a primeira coluna, obteremos uma matriz 2x2 que é .

Passo 3

Agora, vamos lembrar do que é o determinante de uma matriz. O determinante é um número que podemos calcular a partir de uma matriz quadrada e que tem várias propriedades importantes, como determinar se a matriz é invertível (se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível).

Passo 4

Uma propriedade importante dos determinantes é que o determinante de uma matriz de ordem menor (como ) não tem uma relação direta simples com o determinante da matriz original . Ou seja, remover uma linha e uma coluna não necessariamente fará com que o determinante diminua.

Passo 5

Vamos considerar um exemplo simples para ilustrar isso. Suponha que seja uma matriz 2x2:
O determinante de é .
Agora, se retirarmos, por exemplo, a primeira linha e a primeira coluna para formar , teremos:
O determinante de é simplesmente .
Comparando com , não podemos afirmar que sempre. Depende dos valores específicos de .

Passo 6

Como o exemplo mostra, não há uma regra geral que garanta que . O determinante da submatriz pode ser maior, menor ou igual ao determinante da matriz original, dependendo dos elementos específicos da matriz.

Resposta

A afirmação é falsa. Não existe uma regra geral que determine essa relação para todos os casos de matrizes quadradas.

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Dados: e , calcule: .
(UFF) Se , o valor do módulo do quociente entre z e o seu conjugado é:
Calcule onde