(UFF) Sendo a unidade imaginária, para que , seja um número real, é necessário que seja igual a:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa trabalhar com números complexos, que envolvem a unidade imaginária . O objetivo é encontrar todos os valores reais de que fazem com que a expressão seja um número real, ou seja, que não tenha parte imaginária. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre como lidar com números complexos e como garantir que o resultado seja real.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um número complexo tem a forma , onde é a parte real e é a parte imaginária. Para que seja real, a parte imaginária da fração precisa ser igual a zero.

Passo 3

Para simplificar a expressão , vamos racionalizar o denominador. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de é .
Então:

Passo 4

Agora, vamos expandir tanto o numerador quanto o denominador.
No numerador:
Lembrando que , então .
Então, o numerador fica:
No denominador:
Novamente, , então .
Então, o denominador fica:

Passo 5

Agora, a expressão de está assim:
Para que seja real, a parte imaginária deve ser igual a zero.

Passo 6

Vamos igualar a parte imaginária a zero:
Isso acontece quando o numerador é zero:

Passo 7

Resolvendo a equação:

Resposta

Para que seja um número real, deve ser igual a ou .

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Dados: e , calcule: .
(UFRGS) argumento do número complexo é , e o seu módulo é 2. Então, a forma algébrica de z é:
Sejam e matrizes quadradas de ordem . Verifique se as colocações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique. .
(UFF) Se , o valor do módulo do quociente entre z e o seu conjugado é: