(UFF) Sendo i a unidade imaginária, para que z=4x-i4-xi; x in R, seja um número real, é necessário que x seja igual a:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa trabalhar com números complexos, que envolvem a unidade imaginária . O objetivo é encontrar todos os valores reais de que fazem com que a expressão seja um número real, ou seja, que não tenha parte imaginária. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre como lidar com números complexos e como garantir que o resultado seja real.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um número complexo tem a forma , onde é a parte real e é a parte imaginária. Para que seja real, a parte imaginária da fração precisa ser igual a zero.

Passo 3

Para simplificar a expressão z = 4x - i4 - xi times 4 + xi4 + xi = (4x - i)(4 + xi)(4 - xi)(4 + xi) , vamos racionalizar o denominador. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de é .
Então:

Passo 4

Agora, vamos expandir tanto o numerador quanto o denominador.
No numerador:
(4x - i)(4 + xi) = 4x cdot 4 + 4x cdot xi - i cdot 4 - i cdot xi = 16x + 4x^2i - 4i - xi^2
Lembrando que 16x + 4x^2i - 4i + x = (16x + x) + (4x^2i - 4i) = 17x + i(4x^2 - 4) , então (4 - xi)(4 + xi) = 4 cdot 4 + 4 cdot xi - xi cdot 4 - xi cdot xi = 16 + 4xi - 4xi - x^2i^2 .
Então, o numerador fica:
16 + x^2
No denominador:
Novamente, , então .
Então, o denominador fica:

Passo 5

Agora, a expressão de z = 17x + i(4x^2 - 4)16 + x^2 está assim:
Para que seja real, a parte imaginária deve ser igual a zero.

Passo 6

Vamos igualar a parte imaginária a zero:
4x^2 - 416 + x^2 = 0
Isso acontece quando o numerador é zero:
4x^2 - 4 = 0

Passo 7

Resolvendo a equação:
4x^2 - 4 = 0 4x^2 = 4 x^2 = 1 x = pm 1

Resposta

Para que seja um número real, deve ser igual a ou .

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