(UFF) Sendo
a unidade imaginária, para que
, seja um número real, é necessário que
seja igual a:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa trabalhar com números complexos, que envolvem a unidade imaginária
. O objetivo é encontrar todos os valores reais de
que fazem com que a expressão
seja um número real, ou seja, que não tenha parte imaginária. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre como lidar com números complexos e como garantir que o resultado seja real.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um número complexo tem a forma
, onde
é a parte real e
é a parte imaginária. Para que
seja real, a parte imaginária da fração
precisa ser igual a zero.
Passo 3
Para simplificar a expressão
, vamos racionalizar o denominador. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de
é
.
Então:
Passo 4
Agora, vamos expandir tanto o numerador quanto o denominador.
No numerador:
Lembrando que
, então
.
Então, o numerador fica:
No denominador:
Novamente,
, então
.
Então, o denominador fica:
Passo 5
Agora, a expressão de
está assim:
Para que
seja real, a parte imaginária
deve ser igual a zero.
Passo 6
Vamos igualar a parte imaginária a zero:
Isso acontece quando o numerador é zero:
Passo 7
Resolvendo a equação:
Resposta
Para que
seja um número real,
deve ser igual a
ou
.
Exercícios relacionados
Dados:
e
, calcule:
.
(UFRGS)
argumento do número complexo
é
, e o seu módulo é 2. Então, a forma algébrica de z é:
Sejam
e
matrizes quadradas de ordem
. Verifique se as colocações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique.
.
(UFF) Se
, o valor do módulo do quociente entre z e o seu conjugado é: